温度単位の換算 EditToHeaderToFooter

日本では、温度の単位に摂氏度$$ {}^\circ\textrm{C} $$（セルシウス度）と絶対温度$$ \textrm{K} $$（ケルビン）が用いられる。
歴史的理由により、日常的には$$ {}^\circ\textrm{C} $$、自然科学では$$ \textrm{K} $$と使い分けされる。
$$ {}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$の換算が加算関係というのが特徴で、乗算関係にある多くの単位換算と大きく異なる。

例えば、$$ L $$$$ = $$$$ x $$$$ \textrm{km} $$$$ = $$$$ y $$$$ \textrm{m} $$と同じ長さ異なる単位で表したら$$ y $$$$ = $$$$ x $$$$ \times $$$$ 1000 $$という換算になる。
対して、$$ T $$$$ = $$$$ x $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ = y $$$$ \textrm{K} $$と同じ温度を異なる単位で表したら$$ y $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ 273.15 $$という換算になる。

SI単位系で数値を表すには、$$ x $$$$ = $$$$ L{/}{}^\circ\textrm{C} $$、$$ y $$$$ = $$$$ L{/}\textrm{K} $$のように、量を単位で割った表記を使う*1。
そのため、乗算関係にある関係式は次のように書ける：

$$ \ffd{L}{\textrm{m}} $$$$ = $$$$ \ffd{L}{\textrm{km}} $$$$ \times $$$$ 1000 $$

この式から$$ L $$を打消して、分母を払えば、一般的に用いられる$$ 1 $$$$ \textrm{km} $$$$ = $$$$ 1000 $$$$ \textrm{m} $$*2が得られる。

温度の場合は$$ x $$$$ = $$$$ T{/}{}^\circ\textrm{C} $$、$$ y $$$$ = $$$$ T{/}\textrm{K} $$と表記でき*3、温度単位の換算はこうなる：

$$ \ffd{T}{\textrm{K}} $$$$ = $$$$ \ffd{T}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ + $$$$ 273.15 $$

*1 国際文書第８版 国際単位系(SI) 日本語版 5.3.1 量の値と数値，及び量の四則演算 (p43-44) https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8J.pdf
*2 この換算表記は、乗算関係を前提にしていることに注意。
*3 SI単位系の表記では絶対温度を$$ T $$、セルシウス温度を$$ \theta $$と書き分けているが、同じ温度であるため、凌宮数学では同じ量記号$$ T $$に統一している。

比例式に与える影響 EditToHeaderToFooter

一般に、温度と比例関係にある法則を定式化した場合、量の方程式は当然比例式になる。
しかし、数値方程式では、絶対温度$$ \textrm{K} $$を用いた場合は同形の比例式になるのに対し、
セルシウス温度$$ {}^\circ\textrm{C} $$を用いた場合は比例式にならず少し複雑な式に化ける。

例えば、シャルルの法則では気体の温度$$ T $$は体積$$ V $$に比例し*4、量方程式は比例式になる。
$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$における気体の体積を$$ V_0 $$とすると、シャルルの法則は表１にある各式に書けて、
セルシウス温度を用いる場合のみ、温度の項毎に$$ 273.15 $$が加わり、比例式で無くなる。

表１：シャルルの法則
量方程式$$ \ffd{V}{V_0} $$$$ = $$$$ \ffd{T}{T_\theta} $$
数値
方程式		絶対
温度		$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}\textrm{K}}{T_\theta{/}\textrm{K}} $$
セルシウス
温度		$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{T_\theta{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{273.15} $$*5
*4 理想気体であり、かつ、圧力一定。
*5 今は$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$に設定しているため、$$ T_\theta/{}^\circ\textrm{C} $$$$ = $$$$ 0 $$である。

座標換算の考え方 EditToHeaderToFooter

温度を表すセルシウス温度$$ \theta $$、水の凝固点$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$を基準とした相対温度と見なせる。
同様に、絶対と名乗る絶対温度$$ T $$も熱力学限界値$$ T_0 $$$$ = $$$$ 0 \textrm{K} $$を基準とした相対温度と見なせる。
この視点では、$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$と$$ 0\textrm{K} $$の単位変換は$$ \theta $$と$$ T $$の座標変換に変わる。

$$ \theta $$$$ = $$$$ T $$$$ + $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$

ここに登場する$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$は$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$と$$ 0\textrm{K} $$の温度差$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$$$ - $$$$ 0\textrm{K} $$であり、単位は$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$でも$$ \textrm{K} $$でも同じである。
このように、$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$の違いは、温度を表す場合の基準の違いでしかなく、目盛りには全く違いが無い。
このため、明示的に基準が示される温度差を表す場合において、$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$は完全に等価となる。

例えば、状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、それぞれの温度や$$ B $$を基準とする温度差は、
セルシウス温度と絶対温度ではそれぞれ次のように表現できる：

座標系対象温度基準温度温度差
セルシウス温度$$ \theta_A $$$$ \theta_B $$$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \theta_A $$$$ - $$$$ \theta_B $$
絶対温度　　　$$ T_A $$$$ T_B $$$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$

温度も温度差も座標系に依存しないため、$$ \theta_A $$$$ = $$$$ T_A $$、$$ \theta_B $$$$ = $$$$ T_B $$、$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \varDelta T $$である。
$$ \theta $$$$ = $$$$ T $$$$ + $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を代入しても、下駄の部分が打消して、辻褄は合う。

$$ \varDelta $$$$ \theta $$$$ = $$$$ \theta_A $$$$ - $$$$ \theta_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ T_A $$$$ + $$$$ \cancel{273.15 \textrm{K}} $$$$ ) $$$$ - $$$$ ( $$$$ T_B $$$$ + $$$$ \cancel{273.15 \textrm{K}} $$$$ ) $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$$$ \iro[gy]{\ooalign{{}={}\crcr\;(} \varDelta T)} $$

座標依存な演算 EditToHeaderToFooter

参考 EditToHeaderToFooter
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