温度単位の換算 EditToHeaderToFooter

日本では、温度の単位にケルビン$$ \textrm{K} $$とセルシウス度$$ {}^\circ\textrm{C} $$が一般的に用いられている*1
歴史的理由により、自然科学では$$ \textrm{K} $$、日常的には$$ {}^\circ\textrm{C} $$と使い分けされる。
$$ \textrm{K} $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$の換算が加算関係であるのが特徴で、乗算関係が多い単位換算では例外的である。

例えば、$$ L $$$$ = $$$$ x $$$$ \textrm{km} $$$$ = $$$$ y $$$$ \textrm{cm} $$と同じ長さ異なる単位で表すと換算は$$ x $$$$ = $$$$ y $$$$ \times $$$$ 0.00001 $$になる。
対して、$$ \varTheta $$$$ = $$$$ x $$$$ \textrm{K} $$$$ = y $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$*2と同じ温度を異なる単位で表すと換算は$$ x $$$$ = $$$$ y $$$$ + $$$$ 273.15 $$になる。

SI単位系で数値を表すには、$$ x $$$$ = $$$$ L{/}{}\textrm{km} $$$$ y $$$$ = $$$$ L{/}\textrm{m} $$と、量を単位で割った表記を使う*3
この表記を使えば、乗算関係にある単位換算は次のように記述でき、
式から$$ L $$を打消して、分母を払えば、良く用いられる$$ 1 $$$$ \textrm{km} $$$$ = $$$$ 100\,000 $$$$ \textrm{cm} $$*4になる:

$$ \ffd{L}{\textrm{km}} $$$$ = $$$$ \ffd{L}{\textrm{cm}} $$$$ \times $$$$ \ffd{1}{100\,000} $$

温度の場合は$$ x $$$$ = $$$$ \varTheta{/}\textrm{K} $$$$ y $$$$ = $$$$ \varTheta{/}{}^\circ\textrm{C} $$と表記でき、温度単位の換算はこうなる:

$$ \ffd{\varTheta}{\textrm{K}} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ + $$$$ 273.15 $$

*1 http://www.meti.go.jp/committee/materials/downloadfiles/g50913a412j.pdf
*2 $$ \varTheta $$$$ = $$$$ x $$$$ \textrm{K} $$$$ = y $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$も、その具体例である$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$$$ = 0 $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$も含め、単位換算の考え方は非SI的であることに注意。
SI単位系の表記では絶対温度を$$ T $$、セルシウス温度を$$ t $$と書き分けるている。
単位の違いと見なす場合では同じ温度を指すため、凌宮数学では温度を表すのに一つの量記号$$ \varTheta $$に統一している。

*3 国際文書第8版 国際単位系(SI) 日本語版 5.3.1 量の値と数値,及び量の四則演算 (p43-44) https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8J.pdf
*4 この換算表記は、乗算関係を前提にしていることに注意。

比例式に与える影響 EditToHeaderToFooter

一般に、比例関係が成り立つ法則を定式化した場合、量の方程式は比例式になる。
しかし、数値方程式では、単位にケルビン$$ \textrm{K} $$を用いた場合は同形の比例式になるのに対し、
単位にセルシウス度$$ {}^\circ\textrm{C} $$を用いた場合は比例式にならず、少し複雑な式に化ける。

例えば、シャルルの法則では気体の温度$$ \varTheta $$は体積$$ V $$に比例し*5、量方程式は比例式になる。
$$ \varTheta_0 $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$における気体の体積を$$ V_0 $$とすると、シャルルの法則は表1にある各式に書けて、
セルシウス度を用いる場合のみ、温度を表す数値毎に定数$$ 273.15 $$が加わり、比例式で無くなる。

表1:シャルルの法則
量方程式$$ \ffd{V}{V_0} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta}{\varTheta_0} $$$$ \varTheta $$$$ \propto $$$$ \varTheta_0 $$
数値
方程式
$$ \textrm{m}^3, $$$$ \textrm{K} $$$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta{/}\textrm{K}}{\varTheta_0{/}\textrm{K}} $$$$ \frac{ \varTheta}{\textrm{K}} $$$$ \propto $$$$ \frac{\varTheta_0}{\textrm{K}} $$
$$ \textrm{m}^3, $$$$ \textrm{C} $$$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{\varTheta_0{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15} $$*6$$ \frac{\varTheta}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ \propto\!\!\!\!\!\!/\;\, $$$$ \frac{\varTheta_0}{{}^\circ\textrm{C}} $$
*5 理想気体であり、かつ、圧力一定。
*6 良く見る形は$$ \ffd{\varTheta{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{\varTheta_0{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{273.15} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta{/}{}^\circ\textrm{C}}{273.15} $$$$ + $$$$ 1 $$
  ($$ \varTheta_0 $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$であるため$$ \varTheta_0/{}^\circ\textrm{C} $$$$ = $$$$ 0 $$

量の換算 ── 基準違いの温度差 EditToHeaderToFooter

$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ \textrm{K} $$の違いを単位の違いとも見なせる一方、量の違いとも見なせる:

  • 絶対と名乗る絶対温度$$ T $$は、熱力学限界値$$ 0 $$$$ \textrm{K} $$を基準とした温度差と見なせる。
  • セルシウス温度$$ t $$は、水の凝固点温度$$ T_0 $$$$ = $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を基準とした温度差と見なせる。

いわゆる通常の温度差$$ \varDelta $$$$ T $$は、任意の状態$$ S $$の温度$$ T_S $$を基準とした温度差を意味する。
状態$$ S $$の選び方は任意である。
基準に$$ 0 $$$$ \textrm{K} $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を選んだ場合に、
それぞれ絶対温度とセルシウス温度という名前が特別に付いているだけである。

この温度を温度差と見なす視点では、$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ \textrm{K} $$の単位変換は$$ T $$$$ t $$の量の変換に変わる:

温度差において、$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ \textrm{K} $$は全く同じ単位となり、単位換算としては$$ 1 $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ = $$$$ 1 $$$$ \textrm{K} $$となる。
日常的に使われるセルシウス温度を表すのに$$ {}^\circ\textrm{C} $$が好まれる程度の違いでしかない。
実際、$$ 0 $$$$ \textrm{K} $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$以外の温度を基準に選んだ場合の温度差は、どちらの単位を用いても構わない。好みの問題である。

量の換算に基づく考え方では、以下の2点において単位換算よりも汎用的と言える。

  • 1つの状態を表す温度目盛が、2つの状態の温度差に統一される。
  • 圧力や高度など、温度以外の物理量においても通用する。
*7 SI単位系では$$ T_0 $$を移項した式$$ t $$$$ = $$$$ T $$$$ - $$$$ T_0 $$でセルシウス温度を定義している。
国際文書第8版 国際単位系(SI) 日本語版 2.1.1.5 熱力学温度の単位(ケルビン) (p24-25) https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8J.pdf

圧力における類似例 EditToHeaderToFooter

圧力では、絶対圧とゲージ圧と呼ばれる2つの基準が良く用いられる*8

  • 絶対圧: 真空を基準とした圧力。絶対温度と同様に負圧の概念は無い。
  • ゲージ圧: 大気圧を基準とした圧力。セルシウス温度と同様に正圧と負圧に分かれる。

絶対圧$$ P $$とゲージ圧$$ p $$には、大気圧$$ P_0 $$を介した加算換算が成り立つ。

$$ P $$$$ = $$$$ p $$$$ + $$$$ P_0 $$

温度と事情が異なり、大気圧$$ P_0 $$の値は約$$ 101.33 $$$$ \textrm{kPa} $$で、気圧変動に依存する。
そのため、ゲージ圧と絶対圧の変換を単位間の変換としては扱えない。
その結果、ゲージ圧や絶対圧は常に量の概念であり、圧力単位で区別されることはない。

ただし、工学的には単位の後ろに以下の記号を付けて明記する場合があり、
特に$$ \textrm{G} $$$$ \textrm{A} $$の表記は$$ \textrm{MPaG} $$$$ \textrm{MPaA} $$と単位に空白無しで綴られ、
あたかも異なる単位のように見える場合はある。

ゲージ圧:$$ \textrm{[gage]} $$$$ \textrm{(gage)} $$$$ \textrm{(g)} $$$$ \textrm{(G)} $$$$ \textrm{G} $$
絶対圧 :$$ \textrm{[abs]} $$$$ \textrm{(abs)} $$$$ \textrm{(a)} $$$$ \textrm{(A)} $$$$ \textrm{A} $$
*8 ORION > 真空単位(ゲージ圧と絶対圧) http://www.orionkikai-vacuum-pump.com/tech03-4.html

高度における類似例 EditToHeaderToFooter

高度では、基準点の違いで地上高度と海抜高度の2種類が良く用いられる*9

  • 地上高度:地表を基準とした高度、「地上$$ 10.5 $$$$ \textrm{m} $$」のように表記される。
  • 海抜高度:海面を基準とした高度、「海抜$$ 12.1 $$$$ \textrm{m} $$」のように表記される*10

地上高度$$ h $$と海抜高度$$ H $$には、地面の海抜高度$$ H_0 $$を介した加算変換が成り立つ:

$$ H $$$$ = $$$$ h $$$$ + $$$$ H_0 $$

ここで、地面の海抜高度$$ H_0 $$も大気圧$$ P_0 $$と同様、場所と時間*11に依存する。
このため、地上高度と海抜高度を単位変換としては扱えない*12
また、工学でも単位で区別する習慣は無い。

*9 富士屋50周年記念事業 スーパー富士屋津波避難タワー
*10 歴史的に残る「摂氏$$ 25 $$度」などの言い方は「海抜$$ 12.1 $$$$ \textrm{m} $$」などと同じである。
*11 地震などにより地殻変動が起きた場合。
*12 前述の「温度差において、$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ \textrm{K} $$は全く同じ単位。」とは、
この海抜高度の$$ \textrm{m} $$と地上高度の$$ \textrm{m} $$と同じほど区別する必要がない意味であることに注意。

演算の加法変換依存性 EditToHeaderToFooter

これまでに、温度換算に関する2種類の考え方を紹介してきた。
換算式は全て加算関係であり*13
ケルビン$$ \textrm{K} $$とセルシウス度$$ {}^\circ\textrm{C} $$の単位変換として考える場合は$$ \ffd{\varTheta}{\textrm{K}} $$$$ = $$$$ \ffd{\varTheta}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ + $$$$ 273.15 $$
絶対温度$$ T $$とセルシウス温度$$ t $$の量の変換として考える場合は$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$になる。

表1で挙げたシャルルの法則のように、加法換算は式の姿を変える場合がある。
以下では、基本的な演算の加算変換依存性について列挙する。
なお、量の変換として扱い、$$ T $$で絶対温度、$$ t $$でセルシウス温度を表すとする。

*13 単位換算では珍しいが、量の変換と考えた場合は全く珍しくはないことに注意。

温度比(依存) EditToHeaderToFooter

状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、温度や温度比を以下のように置く:

 対象温度基準温度温度比
絶対温度$$ T_A $$$$ T_B $$$$ T_A $$$$ / $$$$ T_B $$
セルシウス温度$$ t_A $$$$ t_B $$$$ t_A $$$$ / $$$$ t_B $$

$$ \ffd{T_A}{T_B} $$$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$を代入しても、$$ T_0 $$が打消せず、温度比は加法変換に依存する。

$$ \ffd{T_A}{T_B} $$$$ = $$$$ \ffd{t_A + T_0}{T_B + T_0} $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ \ffd{t_A}{t_B} $$

このため、絶対零度を原点とする比例関係を持つ現象を記述する熱力学法則では、
絶対零度を基準としないセルシウス温度で記述すると比例式にならず、式が煩雑になる。

高度の例も同様、高度を比で比べるには基準を決める必要がある。
建物を比べる場合は地上高度、山を比べる場合は海抜高度が用いられるように、
両方が実用的意味を持ち、使い分けが必要である。

温度差(非依存) EditToHeaderToFooter

状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、温度や状態$$ B $$を基準とする温度差を以下のように置く:

 対象温度基準温度温度差
絶対温度$$ T_A $$$$ T_B $$$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$
セルシウス温度$$ t_A $$$$ t_B $$$$ \varDelta t $$$$ = $$$$ t_A $$$$ - $$$$ t_B $$

$$ \varDelta T $$$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$を代入すると、$$ T_0 $$が打消し、温度差は加法変換に依存しない。

$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ t_A $$$$ + $$$$ \cancel{T_0} $$$$ ) $$$$ - $$$$ ( $$$$ t_B $$$$ + $$$$ \cancel{T_0} $$$$ ) $$$$ = $$$$ t_A $$$$ - $$$$ t_B $$$$ = $$$$ \varDelta t $$

このため、いわゆる「温度の差」は絶対温度やセルシウス温度の基準に依らない。
基準を状態$$ B $$に設定され、絶対温度やセルシウス温度に依存しないため、直観的にも理解できる。
また、変換の差異である$$ T_0 $$が不変である事実からも、容易に$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ \varDelta t $$$$ + $$$$ \cancelto{0}{\varDelta T_0}\;\;\;\; $$と導ける。

温度差の比(非依存) EditToHeaderToFooter

温度差の基準が既に明示され、絶対温度とセルシウス温度に依らないため、
温度差から作られる量も自ずと絶対温度とセルシウス温度に依存しない。
例えば、状態$$ C $$を基準とすると、温度差の比は以下のように定義できる:

 対象温度基準温度温度差の比
絶対温度$$ T_A $$$$ T_B $$$$ T_C $$$$ \ffd{\varDelta T_A}{\varDelta T_B} $$$$ = $$$$ \ffd{T_A - T_C}{T_B - T_C} $$
セルシウス温度$$ t_A $$$$ t_B $$$$ t_C $$$$ \ffd{\varDelta t_A}{\varDelta t_A} $$$$ = $$$$ \ffd{t_A - t_C}{t_B - t_C} $$

$$ \ffd{\varDelta T_A}{\varDelta T_B} $$$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$もしくは導出済みの$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ \varDelta t $$を代入すると、$$ \ffd{\varDelta T_A}{\varDelta T_B} $$$$ = $$$$ \ffd{\varDelta t_A}{\varDelta t_B} $$が得られる。

このため、状態$$ A $$$$ B $$$$ C $$における体積を$$ V_A $$$$ V_B $$$$ V_C $$と置けば、
シャルルの法則を単位や基準に依存しない形に書き換えできる*14

$$ \ffd{V_A - V_C}{V_B - V_C} $$$$ = $$$$ \ffd{T_A - T_C}{T_B - T_C} $$

*14 この式は、対応する体積も勘定すれば、$$ T_C $$に氷点を選んでも良いことを意味する。

温度の和(依存) EditToHeaderToFooter

状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、温度や温度和を以下のように置く*15*16

 対象温度温度和
絶対温度$$ T_A $$$$ T_B $$$$ \varSigma T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ + $$$$ T_B $$
セルシウス温度$$ t_A $$$$ t_B $$$$ \varSigma t $$$$ = $$$$ t_A $$$$ + $$$$ t_B $$

$$ \varSigma T $$$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$を代入しても、$$ T_0 $$が打消せず、温度和は加法変換に依存する。

$$ \varSigma T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ + $$$$ T_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ t_A $$$$ + $$$$ T_0 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ t_B $$$$ + $$$$ T_0 $$$$ ) $$$$ = $$$$ t_A $$$$ + $$$$ t_B $$$$ + $$$$ 2T_0 $$$$ \iro[ak]\neq $$$$ \varSigma t $$

このため、絶対温度で取った和とセルシウス温度で取った和は異なる量になる。
どちらも汎用的な意味を持たず、一般的に、温度の和は物理的意味を持たない。

*15 $$ n $$状態の温度であれば$$ \varSigma T $$$$ = $$$$ \sum_{i=n}^n $$$$ T_i $$になる。$$ \varSigma $$は総和記号$$ \sum $$に因む凌宮表記。
*16 時間$$ \tau $$までの連続温度変化であれば$$ \varSigma T $$$$ = $$$$ \int_0^\tau $$$$ T $$$$ d\tau $$に変わり、基本的な考え方は同じである。

温度の平均(依存、変換関係は保存) EditToHeaderToFooter

状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、温度や平均温度を以下のように置く*17*18

 対象温度平均温度
絶対温度$$ T_A $$$$ T_B $$$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} T $$$$ = $$$$ \ffd{T_A + T_B}{2} $$
セルシウス温度$$ t_A $$$$ t_B $$$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} t $$$$ = $$$$ \ffd{t_A + t_B}{2} $$

$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} T $$$$ T $$$$ = $$$$ t $$$$ + $$$$ T_0 $$を代入すると、$$ T_0 $$が打消せず、温度の平均は加法変換に依存する。
ただし、$$ T_0 $$が増減せずに残るため、加法変換自体は保存され、$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} T $$$$ = $$$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} t $$$$ + $$$$ T_0 $$が成り立つ。
このため、平均温度は状態として単位に依存せず、量の変換は対象温度と同く加算変換となる。

一般に、絶対温度の平均とセルシウス温度の平均は異なる量であるが、
絶対温度とセルシウス温度は同じ状態に対する異なる見方であると同様、
絶対温度で表される平均温度と、セルシウス温度で表される平均温度も、同じ状態に対する異なる見方である。

*17 $$ n $$状態の温度であれば$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} T $$$$ = $$$$ \ffd1n $$$$ \sum_{i=n}^n $$$$ T_i $$になる。$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)}T $$$$ \ffd1n $$の分数線と総和記号$$ \sum $$に因む凌宮表記。
*18 時間$$ \tau $$までの連続温度変化であれば$$ \varSigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)} T $$$$ = $$$$ \ffd{1}{\tau} \!\! \int_0^\tau $$$$ T $$$$ d\tau $$に変わり、基本的な考え方は同じである。

参考 EditToHeaderToFooter

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