温度単位の換算 EditToHeaderToFooter

日本では、温度の単位にセルシウス度$$ {}^\circ\textrm{C} $$とケルビン$$ \textrm{K} $$が一般的に用いられる*1。
歴史的理由により、日常的には$$ {}^\circ\textrm{C} $$、自然科学では$$ \textrm{K} $$と使い分けされる。
$$ {}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$の換算が加算関係というのが特徴で、乗算関係にある多くの単位換算と大きく異なる。

例えば、$$ L $$$$ = $$$$ x $$$$ \textrm{cm} $$$$ = $$$$ y $$$$ \textrm{km} $$と同じ長さ異なる単位で表すと換算は$$ x $$$$ = $$$$ y $$$$ \times $$$$ 100\,000 $$になる。
対して、$$ T $$$$ = $$$$ x $$$$ {}^\circ\textrm{C} $$$$ = y $$$$ \textrm{K} $$と同じ温度を異なる単位で表すと換算は$$ x $$$$ = $$$$ y $$$$ + $$$$ 273.15 $$になる。

SI単位系で数値を表すには、$$ x $$$$ = $$$$ L{/}{}\textrm{km} $$、$$ y $$$$ = $$$$ L{/}\textrm{m} $$のように、量を単位で割る*2。
そのため、乗算関係にある関係式は次のように書けて、
式から$$ L $$を打消して、分母を払えば、良く用いられる$$ 1 $$$$ \textrm{km} $$$$ = $$$$ 100\,000 $$$$ \textrm{cm} $$*3になる：

$$ \ffd{L}{\textrm{cm}} $$$$ = $$$$ \ffd{L}{\textrm{km}} $$$$ \times $$$$ 100\,000 $$

温度の場合は$$ x $$$$ = $$$$ T{/}{}^\circ\textrm{C} $$、$$ y $$$$ = $$$$ T{/}\textrm{K} $$と表記でき*4、温度単位の換算はこうなる：

$$ \ffd{T}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ = $$$$ \ffd{T}{\textrm{K}} $$$$ + $$$$ 273.15 $$

*1
*2 国際文書第８版 国際単位系(SI) 日本語版 5.3.1 量の値と数値，及び量の四則演算 (p43-44) https://www.nmij.jp/library/units/si/R8/SI8J.pdf
*3 この換算表記は、乗算関係を前提にしていることに注意。
*4 SI単位系の表記では絶対温度を$$ T $$、セルシウス温度を$$ \theta $$と書き分けるているが、単位の違いと見なす場合は同じ物理量であるため、凌宮数学では同じ量記号$$ T $$に統一している。

比例式に与える影響 EditToHeaderToFooter

一般に、温度と比例関係にある法則を定式化した場合、量の方程式は当然比例式になる。
しかし、数値方程式では、絶対温度$$ \textrm{K} $$を用いた場合は同形の比例式になるのに対し、
セルシウス温度$$ {}^\circ\textrm{C} $$を用いた場合は比例式にならず少し複雑な式に化ける。

例えば、シャルルの法則では気体の温度$$ T $$は体積$$ V $$に比例し*5、量方程式は比例式になる。
$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$における気体の体積を$$ V_0 $$とすると、シャルルの法則は表１にある各式に書けて、
セルシウス温度を用いる場合のみ、温度の項毎に$$ 273.15 $$が加わり、比例式で無くなる。

表１：シャルルの法則
量方程式$$ \ffd{V}{V_0} $$$$ = $$$$ \ffd{T}{T_\theta} $$
数値
方程式		絶対
温度		$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}\textrm{K}}{T_\theta{/}\textrm{K}} $$
セルシウス
温度		$$ \ffd{V{/}\textrm{m}^3}{V_0{/}\textrm{m}^3} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{T_\theta{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15} $$$$ = $$$$ \ffd{T{/}{}^\circ\textrm{C} + 273.15}{273.15} $$*6
*5 理想気体であり、かつ、圧力一定。
*6 今は$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$に設定しているため、$$ T_\theta/{}^\circ\textrm{C} $$$$ = $$$$ 0 $$である。

相対温度での考え方 ── 基準の違い EditToHeaderToFooter

SI単位系の見方とは異なるが、下記の相対温度に基づく見方も可能である。
セルシウス温度$$ \theta $$は、水の凝固点温度$$ T_\theta $$$$ = $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を基準とした相対温度と見なす*7。
この視点では、$$ {}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$の単位変換は$$ \theta $$と$$ T $$の座標変換に変わる。

$$ T $$$$ = $$$$ \theta $$$$ + $$$$ T_\theta $$

セルシウス温度を相対温度とする見方において、$$ {}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$は全く同じ単位となる。
習慣的に日常的な話をする場合に$$ {}^\circ\textrm{C} $$が好まれる程度の違いでしかない。

*7 同様に、絶対と名乗る絶対温度$$ T $$も熱力学限界値$$ T_0 $$$$ = $$$$ 0 \textrm{K} $$を基準とした相対温度と見なせる。

高度での例 EditToHeaderToFooter

温度の他に、高度にも基準点の違いで海抜高度と地上高度の２種類が良く用いられる：

  • 地表を基準とした高度$$ h $$、地上〜$$ \textrm{m} $$のように表記される。
  • 海面を基準とした高度$$ H $$、海抜〜$$ \textrm{m} $$のように表記される。

東経$$ 34.834118^\circ $$、北緯$$ 138.325502^\circ $$*8、以下の換算式が成立つ：

$$ H $$$$ = $$$$ h $$$$ + $$$$ H_h $$

ここで、$$ H_h $$$$ = $$$$ 12.1 \textrm{m} $$の単位$$ \textrm{m} $$は、海抜高度と地上高度で共通であるのがポイントである。
前述の「セルシウス温度を相対温度とする見方において、$$ {}^\circ\textrm{C} $$と$$ \textrm{K} $$は全く同じ単位」とは、
海抜高度の$$ \textrm{m} $$と地上高度の$$ \textrm{m} $$と同じほど区別する必要がない意味である。

実例として、スーパー富士屋の津波避難タワーに関する記述が挙げられる*9。
建物と津波の両方に関わるため、地上高度と海抜高度の両方を示す必要があったと推測できる：

津波避難タワーは鉄骨造りの3層構造で、

最上階の避難ステージは地上10.5m（海抜12.1mを確保）

*8 https://www.google.com/maps/place/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%8B%E3%83%BB%E7%94%B0%E5%B0%BB%E5%8C%97%E5%BA%97/@34.834118,138.325502,14z/data=!4m2!3m1!1s0x0:0xac4fa7face47eadc))での海抜$$ H_h $$$$ = $$$$ 12.1 \textrm{m} $$を基準に選べば((1気圧における水の凝固点温度を条件に選んだセルシウス温度の基準と同じぐらい適当加減である。
*9 富士屋50周年記念事業　スーパー富士屋津波避難タワー http://www.4919228.com/news/%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%8B50%E5%91%A8%E5%B9%B4%E8%A8%98%E5%BF%B5%E4%BA%8B%E6%A5%AD%E3%80%80%E3%82%B9%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%BC%E5%AF%8C%E5%A3%AB%E5%B1%8B%E6%B4%A5%E6%B3%A2%E9%81%BF%E9%9B%A3%E3%82%BF

演算の変換依存性 EditToHeaderToFooter

話を纏めると、良く用いられる温度の単位には２種類あり、加算で換算するのが珍しい。
単位の違いと見なす考え方の他に、座標の違いと見なすことも可能。
温度以外において単位の違いとする例が無く、座標の違いとして扱うのが一般的。

セルシウス度$$ {}^\circ\textrm{C} $$とケルビン$$ \textrm{K} $$を単位の違いとして扱う見方では、
以下の数値方程式により単位換算が行われる：

$$ \ffd{T}{\textrm{K}} $$$$ = $$$$ \ffd{T}{{}^\circ\textrm{C}} $$$$ + $$$$ 273.15 $$

セルシウス温度$$ \theta $$と絶対温度$$ T $$を座標の違いとして扱う見方では、
以下の量方程式により座標変換が行われる：

$$ T $$$$ = $$$$ \theta $$$$ + $$$$ 273.15\textrm{K} $$

温度差 EditToHeaderToFooter

例えば、状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、それぞれの温度や$$ B $$を基準とする温度差は、
セルシウス温度と絶対温度ではそれぞれ次のように表現できる：

座標系対象温度基準温度温度差
セルシウス温度$$ \theta_A $$$$ \theta_B $$$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \theta_A $$$$ - $$$$ \theta_B $$
絶対温度　　　$$ T_A $$$$ T_B $$$$ \varDelta T $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$

温度も温度差も座標系に依存しないため、$$ \theta_A $$$$ = $$$$ T_A $$、$$ \theta_B $$$$ = $$$$ T_B $$、$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \varDelta T $$である。
$$ \theta $$$$ = $$$$ T $$$$ + $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を代入しても、下駄の部分が打消して、辻褄は合う。

$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \theta_A $$$$ - $$$$ \theta_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ T_A $$$$ + $$$$ \cancel{273.15 \textrm{K}} $$$$ ) $$$$ - $$$$ ( $$$$ T_B $$$$ + $$$$ \cancel{273.15 \textrm{K}} $$$$ ) $$$$ = $$$$ T_A $$$$ - $$$$ T_B $$$$ = $$$$ \varDelta T $$

温度比 ── 座標依存量の例 EditToHeaderToFooter

状態$$ A $$と状態$$ B $$があり、それぞれの温度と温度比は、
セルシウス温度と絶対温度ではそれぞれ次のように書く場合を考える：

座標系対象温度基準温度温度比*10
セルシウス温度$$ \theta_A $$$$ \theta_B $$$$ \theta_A $$$$ / $$$$ \theta_B $$
絶対温度　　　$$ T_A $$$$ T_B $$$$ T_A $$$$ / $$$$ T_B $$

温度は座標系に依存しないため、$$ \theta_A $$$$ = $$$$ T_A $$、$$ \theta_B $$$$ = $$$$ T_B $$である。
温度差と異なるのは、温度商は座標依存量で$$ R_\theta $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ R_T $$になる。
$$ \theta $$$$ = $$$$ T $$$$ + $$$$ 273.15 $$$$ \textrm{K} $$を代入しても、下駄が打消せないのが直ちに分かる。

$$ \ffd{\theta_A}{\theta_B} $$$$ = $$$$ \ffd{T_A + 273.15 \textrm{K}}{T_B + 273.15 \textrm{K}} $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ \ffd{T_A}{T_B} $$

シャルルの法則で体積商が比例するのは絶対零度を基準とした温度商に限られるため、
絶対温度に座標変換してから数値除算する必要がある。
セルシウス温度の数値除算も$$ 0{}^\circ\textrm{C} $$を基準にする比較では意味を持ちうるが、一般性に欠ける。

高度でも同じ関係である。
同じ２点の高度商でも、地上高度と海抜高度では単純に数値除算しても商は異なる。
しかも、建物を比べる場合は地上高度、山を比べる場合は海抜高度が用いられるように、両方が実用的意味を持つ。

*10 一般に、温度比は物理量同士の除算として定義される。ここにで言う温度商は便宜的に各座標系における単純な数値除算を指すことに注意。

温度和と平均温度 ── 座標依存量と座標不変量の違い EditToHeaderToFooter

$$ \varDelta\theta $$$$ = $$$$ \theta_A $$$$ + $$$$ \theta_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ T_A $$$$ + $$$$ 273.15 \textrm{K} $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ T_B $$$$ + $$$$ 273.15 \textrm{K} $$$$ ) $$$$ = $$$$ T_A $$$$ + $$$$ T_B $$$$ + $$$$ 546.3 \textrm{K} $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ \Sigma T $$

座標系対象温度基準温度温度和
地上高度$$ h_A $$$$ h_B $$$$ \Sigma h $$$$ = $$$$ h_A $$$$ + $$$$ h_B $$
海抜高度$$ H_A $$$$ H_B $$$$ \Sigma H $$$$ = $$$$ H_A $$$$ + $$$$ H_B $$

地上高度の和$$ \Sigma h $$に$$ h $$$$ = $$$$ H $$$$ + $$$$ 12.1 \textrm{m} $$を代入すると、海抜高度の和とは異なる量になる。

$$ \Sigma h $$$$ = $$$$ h_A $$$$ + $$$$ h_B $$$$ = $$$$ ( $$$$ H_A $$$$ + $$$$ 12.1 \textrm{m} $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ H_B $$$$ + $$$$ 12.1 \textrm{m} $$$$ ) $$$$ = $$$$ H_A $$$$ + $$$$ H_B $$$$ + $$$$ 24.2 \textrm{m} $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ \iro[ak]{\Sigma H} $$

このため、高度の和は使う座標系に依存し、地上高度の和と海抜高度の和は異なる物理量になると言える。

地上高度$$ h_A $$$$ h_B $$$$ \Sigma\mspace{-14mu}\raise0.25ex\hbox{\(-\)}h $$$$ = $$$$ h_A $$$$ - $$$$ h_B $$
海抜高度$$ H_A $$$$ H_B $$$$ \Sigma\!\!\!\!{-}H $$$$ = $$$$ H_A $$$$ - $$$$ H_B $$

参考 EditToHeaderToFooter
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