割算筆算の過不足対応のバックアップソース(No.7)

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* 背景 [#ica171c1]
;,Twitterネタで面白い割算筆算の呟きが流れてきた。
;,https://twitter.com/onisci/status/830714852821721089
;,内容は、商の見積もりに失敗した場合の対策。

;,教科書には載ってないが、これはこれで便利な筆算である。
;,以下に、割算筆算で商の見積もりで過不足が発生する際の対応法を紹介する。

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* 筆算例 [#h1c60d32]
;,まず初めに、引用元の呟きにある10618÷19を例として拝借します。

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;558 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{3}\cancel{4}\cancel{9} $$
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;57 $$
#ceq(a)
  まずは57＝19×3を引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;49\;\;} $$
#ceq(a)
  49＞19で不足
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;38 $$
#ceq(a)
  追加で38＝2×19を引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;111\;\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;76 $$
#ceq(a)
  38は無いから、とりあえず76＝19×4を引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\overline{\cancel{\;\;35\;\;}} $$
#ceq(a)
  35＞19で不足、38も無いから19を1つ引けば足りる
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;{\;\;168\;\;} $$
#ceq(a)
  16＝35－19と引いて、8を卸す
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{171} $$
#ceq(a)
  168＜171で過剰、とりあえず仮積から19を1つ減らす
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;152 $$
#ceq(a)
  171－19＝152と引いて、修正した余り168から152を普通に引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\overline{\;\;\;\;16\;\;} $$
#ceq(d)

よって、$$ 10618 $$÷$$ 19 $$＝$$ 558 $$＋$$ \frac{16}{19} $$

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* 解説 [#je7ae158]
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** A-1:１倍不足した場合 [#h9b89a83]

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ④仮商4を斜線で消し、商を1つ多い5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{4} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を4と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;76 $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×4を計算
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\cancel{\;\;30\;\;}} $$
#ceq(a)
  ③ とりあえず106から76を引いて、仮余30＞19で不足を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;{\;\;111\;\;} $$
  &br;　
#ceq(a)
  ⑤ 仮余を斜線で消し、余りを仮余から除数を引いた結果に修正
  &br;⑥ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)

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** A+1: １倍過剰した場合 [#aa3f5aa8]

;,

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ③仮商6を斜線で消し、1つ少ない5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{6} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を6と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\cancel{114} $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×6を計算し、114＞106で過剰を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;95 $$
#ceq(a)
  ④ 仮積を斜線で消し、仮積から乗数を引いた数に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;111\;\;} $$
#ceq(a)
  ⑤ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)

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** A-2: ２倍以上不足した場合（連続修正） [#r5522d28]

;,要は１倍不足した場合の連続適応。
;,実質上、先頭１桁と九九で商を大体±１の範囲に抑えられるため、
;,運悪く２倍不足したときにもう一回引いやるかーという感覚で良い。

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ⑤仮商3を斜線で消し、商を2つ多い5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{4} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を3と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;57 $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×3を計算
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\cancel{\;\;49\;\;}} $$
#ceq(a)
  ③ とりあえず106から57を引いて、仮余49＞19で不足を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\cancel{\;\;30\;\;} $$
#ceq(a)
  ③ 仮余を斜線で消し、仮余から除数19を引いく。
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;{\;\;111\;\;} $$
  &br;　
#ceq(a)
  ④ 仮余を斜線で消し、更に除数19を引いて、11＜19を確認。
  &br;⑥ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)

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** A+2: ２倍以上過剰した場合（連続修正） [#k15f63ab]

;,１倍過剰した場合の連続適応。

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ⑤仮商7を斜線で消し、2回引いたので2少ない5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{7} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を7と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\cancel{133} $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×7を計算し、仮余133＞106で過剰を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\cancel{114} $$
#ceq(a)
  ③ 過剰なんで、仮積から除数を引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;95 $$
#ceq(a)
  ④ まだ過剰なんで、更に除数を引き、95＜106で引けることを確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;111\;\;} $$
  &br;　
#ceq(a)
  ⑥ 106から修正した仮積95を引き、11＜19で過不足無しを確認
  &br;⑦ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)

//////////////////////////////////////////////////////////////////
** A-2: ２倍以上不足した場合（追加引き） [#ga41745f]

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ④仮商3を斜線で消し、2倍多い5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{3} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を3と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;57 $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×3を計算
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;49\;\;} $$
#ceq(a)
  ③ とりあえず106から57を引いて、仮余49＞19で不足を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;38 $$
#ceq(a)
  ⑤ 追加で仮積19×2を計算
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;111\;\;} $$
  &br;　
#ceq(a)
  ⑥ 仮余から追加の仮積を引き、11＜19で過不足無しを確認
  &br;⑦ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)


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** 参考A+2: ２倍以上過剰した場合（追加足し） [#ob5c0fc5]

;,A-2のように、２倍以上過剰した場合でも、とりあえず引いてから仮余を修正する手法がある。
;,適切な仮商を立てる通常の手法では大きく過剰しないのでB-2でも充分だが、
;,修正前提で計算しやすい2や5などを商に立てるなどの実用的ではある。

#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;5 $$
#ceq(a)
  ④仮商7を斜線で消し、2倍少ない5に修正
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\;\;\;\;\cancel{7} $$
#ceq(a)
  ① とりあえず仮商を7と置く
#ceq(e)
  $$ 19$$
#ceq(c)
  $$ \overline{)\;10618\;} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;133 $$
#ceq(a)
  ② とりあえず仮積19×7を計算し、仮余133＞106で過剰を確認
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\!-27\;\;} $$
#ceq(a)
  ③ とりあえず逆に133から106を引く
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\!+38 $$
#ceq(a)
  ⑤ 追加で仮積19×2を計算
#ceq(e)
#ceq(c)
  $$ \;\;\overline{\;\;111\;\;} $$
  &br;　
#ceq(a)
  ⑥ 追加の仮積から仮余を逆に引き、11＜19で過不足無しを確認
  &br;⑦ 以降、被乗数から1を降ろして普通に継続
#ceq(d)

;,仮商が過剰した場合、仮積が前の余りより大きいため減算すれば負になる。
;,ただ、形式上では下の仮積から上の余りを逆に引く操作で済む。
;,また、負の余りの修正に仮積を加えるが、これも下から上を逆に引く計算になる。

;,結局、$$ 106 $ - $ 133 $ + $ 38 $ = $ 11 $$を計算しているが、
;,逆引きにより、形式上では$$ 38 - $ ( $ 133 $ - $ 106 $ ) $ = $ 11 $$と負の数を扱わない操作になっている。



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* まとめ [#uaf81e0b]

;,筆算の書き方は昔や外国まで目を向けば色んな書き方がある。
;,教科書に載っているのは一例でしかない。

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