関数のバックアップ(No.3) < 凌宮数学 (LimgMath)

凌宮表記術：がの関数：

一般に、 $$ f $$ が $$ x $$ の関数であることを $$ f(x) $$ と表記する。
ところが、変数 $$ x $$ を関数に代入した値をと書くため、
関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。

これに対し、凌宮数学では $$ f $$ が $$ x $$ の関数であることを $$ f:x $$ と表記する。
関数に変数 $$ x $$ を代入した結果である $$ f(x) $$ を $f:x\.x$ と表示する。

一般的に関数表記に使われる変数を従属変数と呼ぶが、凌宮数学では束縛変数と呼ぶ。
また、「 $$ : $$ 」を束縛子、「 $$ . $$ 」を代入子と呼ぶ。
これらの演算子で関数表記と代入表記を厳密に区別する。

以下、具体例により、関数の性質と凌宮表記による書き分けを確認する。

一般的な関数記号 $$ f $$ に対し、束縛表示が $$ f:x $$ となるが、
具体的な関数に対しても同様に束縛子で束縛変数を明記できる。

例えば、正弦関数 $\sin\theta$ は $\sin:\theta$ 、
$$ x $$ の関数である $$ x^2 + x + 1 $$ は $$ (x^2 + x + 1) : x $$ となる。

関数 $$ f:x $$ に定数 $$ a $$ を代入した結果である $$ f(a) $$ を $$ . $$ $$ a $$ と表記する。

例えば、

$$ (x^2+x+1) : x $$ $$ . $$ $$ 3 $$

$$ = $$ $$ 3^2 + 3 + 1 $$

$$ = $$ $$ 13 $$

関数は入力に対する出力の関係を表すため、入力と出力の順序対で表す表記法がある*1。
例えば、関数 $$ f(x) $$ に対し、 $$ (x,f(x)) $$ で表す。

束縛表記のみが異なる関数は、お互いに等価である。
例えば、

$$ f:x $$ $$ = $$ $$ f:y $$ $$ (x^2 + x + 1):x $$ $$ = $$ $$ (a^2 + a + 1):a $$

理由は、同じ数を代入したら同じ出力を出す関数は互いに同じと見なされるため。

この $$ x $$ を関数 $$ f $$ の束縛変数と呼び、 $$ : $$ を束縛演算子、略して束縛子と呼ぶ。変数の一種ではあるが、未使用の文字に書き換えても同じ関数を表す。

例示1、f:x＝f:a＝f:p

束縛変数以外の変数を自由変数と呼ばれる。

例示2、一般的にf(x)＝2x と書く場合、f:R:x＝(2x):R:x＝2x:R:x と厳密に表記できる。f:x＝2x:x と略すが、f:p＝2p:p と書いてもf:x＝2p:p と書いても同じである。

2x だけなら x を不定元とする多項式に見えるが、2x:x で x を変数とする関数と書き分けできると理解して良い。

厳密表記では、定数関数と定数を区別する。

例示3値が2の定数： 2値が2の定数関数： 2:x＝2:p