関数のバックアップ(No.4) < 凌宮数学 (LimgMath)

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凌宮表記術：がの関数：

一般に、 $$ f $$ が $$ x $$ の関数であることを $$ f(x) $$ と表記する。
ところが、変数 $$ x $$ を関数に代入した値をと書くため、
関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。

これに対し、凌宮数学では $$ f $$ が $$ x $$ の関数であることを $$ f:x $$ と表記する。
関数に変数 $$ x $$ を代入した結果である $$ f(x) $$ を $f:x\.x$ と表示する。

一般的に関数表記に使われる変数を従属変数と呼ぶが、凌宮数学では束縛変数と呼ぶ。
また、「 $$ : $$ 」を束縛子、「 $$ . $$ 」を代入子と呼ぶ。
これらの演算子で関数表記と代入表記を厳密に区別する。

以下、具体例により、関数の性質と凌宮表記による書き分けを確認する。

束縛表示

一般的な関数記号 $$ f $$ に対し、束縛表示が $$ f:x $$ となるが、
具体的な関数に対しても同様に束縛子で束縛変数を明記できる。

例えば、正弦関数 $\sin\theta$ は $\sin:\theta$ 、
$$ x $$ の関数である $$ x^2 + x + 1 $$ は $$ (x^2 + x + 1) : x $$ となる。
特に、定数関数は $$ 1:x $$ のように表せる*1。

*1 定数関数を表す一般的な表記法は無い。

代入表示

関数 $$ f:x $$ に定数 $$ a $$ を代入した結果である $$ f(a) $$ を $$ . $$ $$ a $$ と表記する。

例えば、

$$ (x^2+x+1) : x $$ $$ . $$ $$ 3 $$

$$ = $$ $$ 3^2 + 3 + 1 $$

$$ = $$ $$ 13 $$

束縛

束縛表示の任意性

関数は入力と出力の関係であり、束縛変数の表記違いは関数の違いにはならない。
$$ f(x) $$ $$ = $$ $$ x^2 + x + 1 $$ でも $$ f(a) $$ $$ = $$ $$ a^2 + a + 1 $$ でも、
$$ 3 $$ を代入したら同じ $$ 13 $$ になることに代わらない。
$$ 3 $$ 以外にも任意の数に対して同じ結果になる。

同じ代入に対して、常に同じ値になる関数は、同じ関数と見なされる。
この性質を束縛表記で以下のように明記できる。

$$ f:x $$ $$ = $$ $$ f:y $$

$$ (x^2 + x + 1):x $$ $$ = $$ $$ (a^2 + a + 1):a $$

任意の関数について、束縛変数を任意の文字に差し替えできる。

定数と定数関数

定数関数は代入した値に関係なく、定数を取る関数である。
束縛表記では、定数 $$ 1 $$ に対し、定数関数は $$ 1:x $$ と表記できるが、
この束縛は形式的なもので、実際に束縛される対象となる $$ x $$ が式 $$ 1 $$ に含まれて無い。
このため、定数関数に限り、束縛の有無は区別しない。 $$ 1 $$ $$ = $$ 。