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/関数
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* 凌宮表記術： $$ f $$が$$ x $$の関数：$$ f:x $$ [#s24a2e94]
;,一般に、$$ f $$が$$ x $$の関数であることを$$ f(x) $$と表記する。
;,ところが、変数$$ x $$を関数に代入した値を$$ f(x) $$と書くため、
;,関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。
;,これに対し、凌宮数学では$$ f $$が$$ x $$の関数であることを$$ f:x $$と表記する。
;,関数$$ f:x $$に変数$$ x $$を代入した結果である$$ f(x) $$を$$ f:x\.x $$と表示する。
;,一般的に関数表記に使われる変数を従属変数と呼ぶが、凌宮数学では束縛変数と呼ぶ。
;,また、「$$ : $$」を束縛子、「$$ . $$」を代入子と呼ぶ。
;,これらの演算子で関数表記と代入表記を厳密に区別する。
;,以下、具体例により、関数の性質と凌宮表記による書き分けを確認する。
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** 束縛表示 [#ldececf1]
;,一般的な関数記号$$ f $$に対し、束縛表示が$$ f:x $$となるが、
;,具体的な関数に対しても同様に束縛子で束縛変数を明記できる。
;,例えば、正弦関数$$ \sin\theta $$は$$ \sin:\theta $$、
;,$$ x $$の関数である$$ x^2 + x + 1 $$は$$ (x^2 + x + 1) : x $$となる。
;,特に、定数関数は$$ 1:x $$のように表せる((定数関数を表す一般的な表記法は無い。))。
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** 代入表示 [#m23e1cf1]
;,関数$$ f:x $$に定数$$ a $$を代入した結果である$$ f(a) $$を$$ f:x $ . $ a $$と表記する。
;,例えば、
#ceq(e)
$$ (x^2+x+1) : x $ . $ 3 $$
#ceq(e)
$$ = $ 3^2 + 3 + 1 $$
#ceq(e)
$$ = $ 13 $$
#ceq(d)
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* 束縛 [#d357ec7a]
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** 束縛表示と順序対表示 [#b7043079]
** 束縛表示の任意性 [#q6fbd7a6]
;,関数は入力に対する出力の関係を表すため、入力と出力の順序対で表す表記法がある
((Wikipedia: 関数_(数学)#記法について&br; https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#%E8%A8%98%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6))。
;,例えば、関数$$ f(x) $$に対し、$$ (x,f(x)) $$で表す。
;,関数は入力と出力の関係であり、束縛変数の表記違いは関数の違いにはならない。
;,$$ f(x) $ = $ x^2 + x + 1 $$でも$$ f(a) $ = $ a^2 + a + 1 $$でも、
;,$$ 3 $$を代入したら同じ$$ 13 $$になることに代わらない。
;,$$ 3 $$以外にも任意の数に対して同じ結果になる。
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;,同じ代入に対して、常に同じ値になる関数は、同じ関数と見なされる。
;,この性質を束縛表記で以下のように明記できる。
#ceq(e)
$$ f:x $ = $ f:y $$
#ceq(e)
$$ (x^2 + x + 1):x $ = $ (a^2 + a + 1):a $$
#ceq(d)
;,任意の関数について、束縛変数を任意の文字に差し替えできる。
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** 束縛表示の任意性 [#q6fbd7a6]
** 定数と定数関数 [#na3c1eef]
;,束縛表記のみが異なる関数は、お互いに等価である。
;,定数関数は代入した値に関係なく、定数を取る関数である。
;,束縛表記では、定数$$ 1 $$に対し、定数関数は$$ 1:x $$と表記できるが、
;,この束縛は形式的なもので、実際に束縛される対象となる$$ x $$が式$$ 1 $$に含まれて無い。
;,このため、定数関数に限り、束縛の有無は区別しない。$$ 1 $ = $ 1:x $$。
;,例えば、
#ceq(e)
$$ f:x $ = $ f:y $$
$$ (x^2 + x + 1):x $ = $ (a^2 + a + 1):a $$
$$ (x^2 + x + 1):x $$
#ceq(e)
$$ = $ x^2:x + x:x + 1:x $$((束縛子が比の記号と同じに見えるため、また、関数記号が乗算と似てるため、束縛子の優先順位を乗除と同じと定義する。加減算より優先される。))
#ceq(e)
$$ = $ x^2:x + x:x + 1 $$
#ceq(d)
とできる。
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** 自由変数と変数式 [#db823c63]
;,理由は、同じ数を代入したら同じ出力を出す関数は互いに同じと見なされるため。
;,
;,束縛子で束縛されてない変数を自由変数と呼び、束縛変数と区別する。
;,自由変数を含むが、束縛変数を含まないし式を変数式と呼び、関数とも区別する。
;,例えば、変数$$ x $$を含む変数式$$ x^2 + x + 1 $$は関数$$ (x^2 + x + 1):x $$とは区別する
#ceq(e)
$$ x^2 + x + 1 $ \neq $ (x^2 + x + 1):x $ = $ (y^2 + y + 1):y $$
#ceq(d)
;,変数式の自由変数は、関数の束縛変数とは異なって差し替えが効かない。
;,変数$$ x $ \neq $ y $$であれば、$$ x^2 + x + 1 $ \neq $ y^2 + y + 1 $$である。
#ceq(e)
$$ x^2 + x + 1 $ \neq $ y^2 + y + 1 $$
#ceq(d)
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* 代入 [#re64f32e]
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** 束縛変数の任意性 [#ga958c20]
** 束縛変数の任意性 [#h889b2b7]
この$$ x $$を関数$$ f $$の束縛変数と呼び、$$ : $$を束縛演算子、略して束縛子と呼ぶ。
変数の一種ではあるが、未使用の文字に書き換えても同じ関数を表す。
例示1、f:x＝f:a＝f:p
束縛変数以外の変数を自由変数と呼ばれる。
例示2、一般的にf(x)＝2x と書く場合、
f:R:x＝(2x):R:x＝2x:R:x と厳密に表記できる。
f:x＝2x:x と略すが、
f:p＝2p:p と書いても
f:x＝2p:p と書いても同じである。
2x だけなら x を不定元とする多項式に見えるが、
2x:x で x を変数とする関数と書き分けできると理解して良い。
厳密表記では、定数関数と定数を区別する。
例示3
値が2の定数： 2
値が2の定数関数： 2:x＝2:p
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