- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
/逆基底
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 基底 $$ \:e_n $$ の逆 [#yadec344]
* 凌宮表記術：基底$$ \:e_n $$の逆基底：$$ \ffd{1}{\:e_n} $$ [#ud6bcc0e]
;,軸と軸が直交しない座標系では、双対基底（dual basis）なるものが登場する。
;,要は、１組の基底では手に負えないから２組の基底で何とかする話。
;,習慣的には次のように、双対基底の片方を右下添字で表記し、もう片方を右上添字で表記する。
;,しかし、右上添字は指数表記に使われおり、非常に紛らわしい。
;,一応、多くの場合は文脈で判断できるが、実際に衝突する場合があるし、記号系としても曖昧なのは良くない。
;,しかし、右上添字は指数表記にも使われおり、多くの場合は文脈で判断できるが、記号系としては曖昧が残る
#ceq(e)
$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$
#ceq(e)
$$ \:e_x $$、$$ \:e_y $$、$$ \:e_z $$
#ceq(q)
⇔
#ceq(q)
$$ \:e^x $$、$$ \:e^y $$、$$ \:e^z $$
#ceq(end)
;,さらに問題なのは、両方の基底を添字の位置で関連づけるため、計算的ではない。
;,また、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$が基底になる微分形式など、添字が無い場合も制約になる。
;,この場合は$$ dx_1 $$、$$ dx_2 $$、$$ dx_3 $$と$$ dx^1 $$、$$ dx^2 $$、$$ dx^3 $$に書き換えば計算できるが、ベクトルと微分の繋がりが見えにくくなってしまう。
;,さらに問題なのは、両方の基底は添字の位置で関連づけるられているため、基底の書き方が限られることである。
;,通常のベクトルでは記号の読み替えで済むが、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$が基底になる外積代数では従来の表記とギャップが生じてしまう。
これに対し、凌宮数学では以下のように双対基底の表記を定義する。
;,これに対し、凌宮数学では以下のように双対基底を表記する。
| | |l=: |lx: |lx: | |lx: |lx: |l=: |lx: |lx: | |lx: |lx: |c
|* |< |*幾何基底 |< |< |< |< |< |*微小基底 |< |< |< |< |< |
|^ |< |*正基底 |< |< |*逆基底 |< |< |*正基底 |< |< |*逆基底 |< |< |
|*通常表記|< |$$ \:e_x $$|$$ \:e_y $$|$$ \:e_z $$|$$ \:e^x $$|$$ \:e^y $$|$$ \:e^z $$|$$ dx $$|$$ dy $$|$$ dz $$| | | |
|*凌宮表記|*分数表記|$$ \:e_x $$|$$ \:e_y $$|$$ \:e_z $$|$$ \ffd{1}{\:e_x} $$|$$ \ffd{1}{\:e_y} $$|$$ \ffd{1}{\:e_z} $$|$$ dx $$|$$ dy $$|$$ dz $$|$$ \ffd{1}{dx} $$|$$ \ffd{1}{dy} $$|$$ \ffd{1}{dz} $$|
|*通常表記|< |$$ \:e_x $$|$$ \:e_y $$|$$ \:e_z $$|$$ \:e^x $$|$$ \:e^y $$|$$ \:e^z $$|$$ dx $$|$$ dy $$|$$ dz $$| | | |t=:
|^ |< |$$ \:e_1 $$|$$ \:e_2 $$|$$ \:e_3 $$|$$ \:e^1 $$|$$ \:e^2 $$|$$ \:e^3 $$|$$ dx_1 $$|$$ dx_2 $$|$$ dx_3 $$|$$ dx^1 $$|$$ dx^2 $$|$$ dx^3 $$|
|*凌宮表記|*分数表記|$$ \:e_x $$|$$ \:e_y $$|$$ \:e_z $$|$$ \ffd{1}{\:e_x} $$|$$ \ffd{1}{\:e_y} $$|$$ \ffd{1}{\:e_z} $$|$$ dx $$|$$ dy $$|$$ dz $$|$$ \ffd{1}{dx} $$|$$ \ffd{1}{dy} $$|$$ \ffd{1}{dz} $$|t=:
|^ |*指数表記|^ |^ |^ |$$ \:e_x^{-1} $$|$$ \:e_y^{-1} $$|$$ \:e_z^{-1} $$|^ |^ |^ |$$ dx^{-1} $$|$$ dy^{-1} $$|$$ dz^{-1} $$|
|^ |*指数略記|^ |^ |^ |$$ \:e_x^- $$|$$ \:e_y^- $$|$$ \:e_z^- $$|^ |^ |^ |$$ dx^- $$|$$ dy^- $$|$$ dz^- $$|
;,分数表記を用いたのは、双対基底の定義のうち$$ \:e_x $ \sx $ \:e^x $ = $ 1 $$を満たすため。
;,微小基底に至っては$$ dx $ \sx $ \ffd{1}{dx} $ = $ \ffd{dx}{dx} $ = $ 1 $$と自然に成り立つように見えて欲しい。
;,理屈は次節で述べるとして、要は直観的に分数で理解すべきに尽きる。
;,逆数表記を用いたのは、逆基底が逆数と同じ発想であるため。
;,指数表記は、単にスカラの逆数が$$ -1 $$乗に書けるのに合わせているだけ。
;,指数略記は、式ではなく、$$ \:e^x $$のように一塊で扱いたい場合の記号である。
;,指数略記は、式ではなく、$$ \:e^x $$のように一塊として扱いたい場合の表記である。
;,また、正基底と逆基底が互いに双対であるため、逆基底の逆基底は$$ \ffd{1}{\:e_x^-} $ = $ \ffd{1}{\ffd{1}{\:e_x}} $ = $ \:e_x $$のように正基底に戻る。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 双対基底の定義式 [#s7f65b9f]
３次元の場合、双対基底の定義を通常表記で書くと、こうなる：
#ceq(e)
$$ \:e_x $ \sx $ \:e^x $ = $ 1 $$
#ceq(q)
$$ \:e_x $ \sx $ \:e^y $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_x $ \sx $ \:e^z $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \:e_y $ \sx $ \:e^x $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_y $ \sx $ \:e^y $ = $ 1 $$
#ceq(q)
$$ \:e_y $ \sx $ \:e^z $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \:e_z $ \sx $ \:e^x $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_z $ \sx $ \:e^y $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_z $ \sx $ \:e^z $ = $ 1 $$
#ceq(end)
これを凌宮表記で書くと：
#ceq(e)
$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 1 $$
#ceq(q)
$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_y} $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_z} $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \:e_y $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_y $ \sx $ \ffd{1}{\:e_y} $ = $ 1 $$
#ceq(q)
$$ \:e_y $ \sx $ \ffd{1}{\:e_z} $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \:e_z $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_z $ \sx $ \ffd{1}{\:e_y} $ = $ 0 $$
#ceq(q)
$$ \:e_z $ \sx $ \ffd{1}{\:e_z} $ = $ 1 $$
#ceq(end)
;,このうち、$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 1 $$など内積が$$ 1 $$の定義式は、表記の定義に利用しているために小学校レベルになる。
;,このうち、$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 1 $$など内積が$$ 1 $$になる正規条件は、小学校で習う逆数と全く同じである。
;,同じものを同じように書くことで、小学校から培った数学センスを大学で習うベクトルに活かす手助けになる。
;,残り、内積が$$ 0 $$の定義式も、一義に定まらないベクトル除算を一つに絞るための必須条件として解釈すれば、表記に含まれることになる。
;,図１は通常のベクトル除算である。$$ \:e_x $$との内積が$$ 1 $$のベクトルは幾らでもある。
;,図２は基底のベクトル除算である。$$ \:e_x $$以外の基底と垂直という垂直条件を追加すれば、解が１つに絞れる。
;,このセットで考えるのが、基底が通常のベクトルとの違いであり、逆基底を定義できる理由である。
;,一方で、残る内積が$$ 0 $$になる直交条件も、スカラの逆数を拡張するための追加条件と思えば、逆数表記に含まれる。
;,図１は通常のベクトル除算である。$$ \:e_x $$との内積が$$ 1 $$になるベクトルは幾らでも存在し、逆ベクトルを一義に決められない。
;,図２は基底のベクトル除算である。$$ \:e_x $$以外の基底と垂直という条件を追加すれば、逆基底となる解を１つに絞れる。
;,この「単独で考えず、複数の基底をセットで考える」のが、基底が通常のベクトルとの違いであり、逆基底を定義できる理由である。
|*図１：ベクトル除算 |*図２：基底除算 |l:
|&attachref(./ベクトル除算.png,25%);|&attachref(./基底除算.png,25%);|
|*図１：ベクトル除算 |*図２：基底除算 |l:h
|&attachref(./ベクトル除算.png,30%);|&attachref(./基底除算.png,30%);|
//$$ |e_x| $$
//$$ \ffd{1}{|e_x|} $$
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 逆基底の計算式 [#l9c36f61]
* 逆基底の逆基底 [#l9c36f61]
;,３次元の場合、垂直条件：$$ \ffd{1}{\:e_x} $ \perp $ \:e_y $$かつ$$ \ffd{1}{\:e_x} $ \perp $ \:e_z $$であるため、
$$ \ffd{1}{\:e_x} $ /\!/ $ \:e_y $ \vx $ \:e_z $$という関係が成り立つ。
;,このため、任意の比例定数$$ k $$を使って、$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ k $ \:e_y $ \vx $ \:e_z $$と書ける
((計算自体は、参考：[[［物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / 双対基底］>http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/DualBases/]] が丁寧で分かりやすい。))。
;,任意の数$$ x $$の逆数$$ x^{-1} $$の逆数は、以下のように一種の分数計算として元の数$$ x $$に戻る。
#ceq()
$$ \ffd{1}{x^{-1}} $ = $ \ffd{1}{\ffd{1}{x}} $ = $ x $$
#ceq(end)
;,正規条件：$$ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ 1 $$より、
$$ 1 $ = $ \:e_x $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ k $ \:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z ) $$。
;,$$ \:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z ) $$はスカラであるため、$$ k $ = $ \ffd{1}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$。
;,同様に、任意の基底$$ \:e_x $$の逆基底$$ \:e_x^{-1} $$の逆基底も正基底$$ \:e_x $$に戻る。
;,凌宮表記を用いると、逆基底の逆基底を以下のように逆数の逆数と同じように記述できる。
#ceq()
$$ \ffd{1}{\:e_x^{-1}} $ = $ \ffd{1}{\ffd{1}{\:e_x}} $ = $ \:e_x $$
#ceq(end)
;,よって、$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ k $ \:e_y $ \vx $ \:e_z $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$。
;,したがって、逆基底表記$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$の
$$ \ffd{\phantom{\sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$のような何かを記号的に省いたものと捕らえて良い。
;,ただし、具体的に何が省かれるかは次元によって異なる。
;,１次元では何も省かれずにスカラ除算として成立する。
２次元では例えば$$ \ffd{\phantom{\vx}\:e_y}{\vx \:e_y} $$が省かれる
((ただし、ここの$$ \vx $$は高校でも大学でも教えて貰えない２次元の外積である。))
((２次元の外積については、[[［高専における数学教育の見直し 数学談話会 / 第５回 / 詫間電波工業高等専門学校 / ２次元ベクトルの外積の効用（線形代数学の教科内容の改善に向けて）］>http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa5html/node14.html]] がお勧め。))。
;,４次元以上では、書くだけでも４次元のベクトル積((参考：[[［物理のかぎしっぽ / 微分形式 / 四次元の微分形式］>http://hooktail.sub.jp/differentialforms/FourDimDiffForms/]]))を表せる外積代数
((具体的にホッジ作用素が基底の除算に該当する。参照：[[［物理のかぎしっぽ / 微分形式 / ホッジ作用素］>http://hooktail.sub.jp/differentialforms/HodgeStarOperator/]]))
の知識が必要だが、イメージするだけなら直観的に残りの基底を掛け合わせた分母と分子を省く感覚で良い。
;,このように、「逆数」と「逆数を求める演算」を兼ねる逆数表記と同様、
;,逆数表記を流用した凌宮表記も「逆基底」と「逆基底を求める演算」の記号を両方兼ねている。
;,対して、通常表記では正基底と逆基底の記号を定めているだけで、正基底から逆基底を求める演算の記号ではない。
;,このため、通常表記で「逆基底の逆基底」の結果である正基底を書けても「逆基底の逆基底」自体は表現できない。
%bodynote
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//* 正基底による逆基底 [#v2496269]
//
//;,一般に、逆基底は正基底の式で記述できる。
//;,例えば３次元の場合、$$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$となる
// ((計算は、[[［物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / 双対基底］>http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/DualBases/]] が丁寧で分かりやすい。))。
//;,これについて、凌宮表記の$$ \ffd{1}{\:e_x} $$は、
// $$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$から
// $$ \ffd{\phantom{\sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$を記号的に省いたものと見なせる。
//
//;,他の次元でも、$$ \ffd{1}{\:e_x} $$が記号的に何かを省いていると見なせる。
//;,ただ、省かれているモノを記述するには、少しマイナーな表記を使う必要がある。
//
//;,$$ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}\:e_y \vx \:e_z\phantom{)}}{\:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z )} $$自体の意味は、
//;,まず分子の$$ \:e_y \vx \:e_z $$で$$ \:e_x $$以外の基底に垂直なベクトルを作って逆基底の直交条件を満たし、
//;,次に分母の$$ \:e_x \sx (\:e_y \vx \:e_z ) $$で大きさを調節して正規条件を満たしている。
//;,このため、直交条件を満たすため、$$ n $$次元でば$$ n - 1 $$個の基底と直交するベクトルを作る必要がある。
//
//;,$$ n - 1 $$個のベクトルと直交するベクトルを作る演算を前置演算子$$ \vx(\:v_1, \:v_2, \cdots \:v_{n-1}) $$とする
// ((参照：[[［Wikipedia / クロス積 / 行列式を使った拡張］>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D#.E8.A1.8C.E5.88.97.E5.BC.8F.E3.82.92.E4.BD.BF.E3.81.A3.E3.81.9F.E6.8B.A1.E5.BC.B5]]))と、
//;,各次元における逆基底と直交条件を満たす演算は以下になる：
//#ceq(e)
// 次元数： 正基底による逆基底の表示
//#ceq(a)
// 残る全ての基底と直交するベクトルを作る演算
//#ceq(e)
// １次元： $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}{\vx()\phantom{)}}}{\:e_x \sx (\vx())} $$
//#ceq(a)
// $$ \vx() $ \equiv $ \:e_x $$
//#ceq(e)
// ２次元： $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}{\vx(\:e_y)\phantom{)}}}{\:e_x \sx (\vx(\:e_y))} $$
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y) $$は$$ \:e_y $$に垂直で、大きさが$$ |\:e_y| $$のベクトル((不思議なことに、２次元に関しては等価な表記が無い。（私が知らないだけかもしれないが…）))。
//#ceq(e)
// ３次元： $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z)\phantom{)}}}{\:e_x \sx (\vx(\:e_y, \:e_z))} $$
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z) $ = $ \:e_y \vx \:e_z $$((これはお馴染みの３次元の２項演算のクロス積である。))
// $$ = $ \ast(\:e_y \wx \:e_z) $$
// ((「$$ \wx $$」は[[ウェッジ積>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D]]で、クロス積「$$ \vx $$」を拡張した演算である。))
// ((「$$ \ast $$」は[[ホッジ作用素>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%83%E3%82%B8%E7%A9%8D#.E3.83.9B.E3.83.83.E3.82.B8.E5.8F.8C.E5.AF.BE.E6.80.A7]]で、ウェッジ積の計算結果をクロス積に変換する演算子と思えば良い。))
//#ceq(e)
// ４次元： $$ \ffd{1}{\:e_x} $ = $ \ffd{\phantom{\:e_x \sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t)\phantom{)}}}{\:e_x \sx (\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t))} $$
//#ceq(a)
// $$ \vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t) $ = $ \ast(\:e_y \wx \:e_z \wx \:e_t) $$
// ((４次元以上はウェッジ積で記述するしかない))
//#ceq(e)
// ……
//#ceq(end)
//形式的に
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx()\phantom{)}}}{\sx (\vx())} $$、
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y)\phantom{)}}}{\sx (\vx(\:e_y))} $$、
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z)\phantom{)}}}{\sx (\vx(\:e_y, \:e_z))} $$、
//$$ \ffd{\phantom{\sx (}{\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t)\phantom{)}}}{\sx (\vx(\:e_y, \:e_z, \:e_t))} $$が省かれていると見なせるのが分かる。
//
//%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ A^x $$はベクトル$$ \:A $$の$$ x $$成分である。 [#adaf3531]
* ベクトル$$ \:A $$の$$ x $$成分 [#adaf3531]
;,双対基底で考える場合、習慣的には以下のように成分と基底の添字を上下逆の付き方で書く
((実際問題、基底の右上添字よりも、この成分の右上添字の方が指数の添字と衝突しやすい))。
#ceq(e)
$$ \:A $$
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ A^z $ \:e_z $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A_x $ \:e^x $ + $ A_y $ \:e^y $ + $ A_z $ \:e^z $$
#ceq(end)
;,双対基底で成分分解する場合は、ベクトルと逆基底の内積で成分を割り出せる((参考：[[［物理のかぎしっぽ / ベクトル解析 / ベクトルの成分を表す］>http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/VectorRepresentation/]]が丁寧で分かりやすい))。
;,例えば、$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ A^z $ \:e_z $$に$$ \ffd{1}{\:e_x} $$との内積を取ると：
#ceq(e)
$$ \:A $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
#ceq(c)
$$ = $ (A^x \:e_x) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_x} $$
$$ + $ (A^y \:e_y) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_y} $$
$$ + $ (A^z \:e_z) $ \sx $ \ffd{1}{\:e_z} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $ (\cancelto{1}{\:e_x \sx \ffd{1}{\:e_x}}) \;\, $$
$$ + $ A^y $ (\cancelto{0}{\:e_y \sx \ffd{1}{\:e_y}}) \;\, $$
$$ + $ A^z $ (\cancelto{0}{\:e_z \sx \ffd{1}{\:e_z}}) \;\, $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ A^x $$
#ceq(end)
;,よって、$$ y $$成分と$$ z $$成分も同様に求まり、
これらを$$ \:A $ = $ A^x $ \:e_x $ + $ A^y $ \:e_y $ + $ A^z $ \:e_z $$に代入すると次のようになる：
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_x} \Big) $ \:e_x $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_y} \Big) $ \:e_y $$
$$ + $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{\:e_z} \Big) $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,ベクトルと逆基底の内積を分数表記に纏めると、分かりやすい式になる。
#ceq(e)
$$ \:A $$
$$ = $ \ffd{\:A}{\:e_x} $ \:e_x $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_y} $ \:e_y $$
$$ + $ \ffd{\:A}{\:e_z} $ \:e_z $$
#ceq(end)
;,１次元では、スカラ除算として$$ A $ = $ \ffd{A}{e_x} e_x $$になるため、ベクトルになって成分が増える感覚のままで良い。
;,この割る感覚を多次元に残すことも逆基底に分数表記を用いた理由の一つである。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 微分のベクトル扱い [#eaa70db6]
;,微分形式では、微分$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$自体をベクトルとして扱う。
;,凌宮表記を用いると、その逆基底は$$ \ffd{1}{dx} $$、$$ \ffd{1}{dy} $$、$$ \ffd{1}{dz} $$と表記される。
;,記号的には、任意の微分$$ dA $$((微分形式では全微分であればベクトルと見なす。))に対し、
正基底は$$ \int\!\!\!\!\int \! dA \, dx $$のように積分を、逆基底は$$ \ddd{A}{x} $$のように微分
((一般的には、この微分は偏微分として$$ \ppd{A}{x} $$と基底とは異なる記号で表記されるが、逆基底を基底として扱えば微分記号で区別する必要が無くなる。))を作る。
;,最後に、成分分解を書くと、記号的に自ずと全微分の公式が得られる((偏微分も$$ d $$で書くことになるが、それは偏微分と常微分を区別する必要がないためである。詳しい説明は別項目で書く予定。))。
#ceq(e)
$$ dA $ = $ \ddd{A}{x} dx $ + $ \ddd{A}{y} dy $ + $ \ddd{A}{z} dz $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* まとめ・つなぎ [#l7cf3999]
;,成分計算の嵐であるベクトル解析でも、分数表記で逆基底を定義すれば、小学校から養った割り算の感覚を持ち込める。
;,大学で習う双対基底も、逆基底を分数表記で書けば、小学校から培った割り算の感覚を利用できる。
;,そして、大学でベクトルとして扱われる微分の公式もベクトルの公式と同じ形になる。
;,逆基底も微分も一貫して分数で書けば、ベクトルも微分もずっと簡単になる。
;,ベクトルは小学校から大学まで随所登場するため、凌宮数学では逆基底の表記が至る所に登場する。
;,その都度、割り算のベクトル版と思えば公式が簡単に見えてくる。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
ベクトル除算.png
基底除算.png
