極限の分割のバックアップ(No.2)

背景

自然底に対し、 $$ 2 $$ $$ < $$ $$ e < $$ $$ 3 $$ の証明で、定義式を２変数関数と見なして、極限操作と上下限操作で直観的に示す方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。

お題：

$\lim_{c\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1c \Big)^c$
$\lim_{c\to\infty}$ $\sum_{i=0}^c$ ${}_c\mathrm{C}_i$ $\ffd1{c^i}$	$\lim_{c\to\infty}$ $\Big($ $_{_1}\cancel{{}_c\mathrm{C}_0}\!\!\ffd1{_{_1}\cancel{c^0}}$ $_{_c}\cancel{{}_c\mathrm{C}_1}\!\!\ffd1{_{_c}\cancel{c^1}}$ ${}_c\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ c^2 }$ ${}_c\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ c^3 }$ $\cdots$ ${}_c\mathrm{C}_c$ $\ffd1{ c^c }$ $\Big)$
$\lim_{c \to \infty}$ $\sum_{i=2}^c$ ${}_c\mathrm{C}_i$ $\ffd1{c^i}$
$\lim_{c \to \infty}$ $\sum_{i=2}^c$ $\ffd1{c!}$ $\ffd{_c\mathrm{P}_i}{c^i}$	$\lim_{c \to \infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_c\mathrm{P}_2}{c^2}$ 　 $\ffd1{3!}$ $\ffd{_c\mathrm{P}_3}{c^1}$ 　 $\cdots$ $\ffd1{c!}$ $\ffd{_c\mathrm{P}_c}{c^c}$ $\Big)$
$=\!\!\!\!?$ $\lim_{c \to \infty}$ $\lim_{c \to \infty}$ $\Big($ $\ffd1a \Big)^c$