極限の分割 のバックアップソース(No.2)

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*背景 [#oef44f57]

自然底に対し、$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、定義式を２変数関数と見なして、極限操作と上下限操作で直観的に示す方法が示されていた。
問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。
// @Bentweetou

お題：
#ceq(e)
    $$ e $$
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1c \Big)^c $$
#ceq(e)
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \sum_{i=0}^c $ {}_c\mathrm{C}_i $ \ffd1{c^i} $$
#ceq(c)
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \Big( $ _{_1}\cancel{{}_c\mathrm{C}_0}\!\!\ffd1{_{_1}\cancel{c^0}} $$
    $$ +                             $ _{_c}\cancel{{}_c\mathrm{C}_1}\!\!\ffd1{_{_c}\cancel{c^1}} $$
    $$ +                             $              {}_c\mathrm{C}_2   $ \ffd1{             c^2 } $$
    $$ +                             $              {}_c\mathrm{C}_3   $ \ffd1{             c^3 } $$
    $$ + $ \cdots $ +                $              {}_c\mathrm{C}_c   $ \ffd1{             c^c } $ \Big) $$
#ceq(e)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \sum_{i=2}^c $ {}_c\mathrm{C}_i $ \ffd1{c^i} $$
#ceq(e)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \sum_{i=2}^c $ \ffd1{c!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_i}{c^i} $$
#ceq(c)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_2}{c^2} $$
    　$$ +                                       $ \ffd1{3!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_3}{c^1} $$
    　$$ + $ \cdots $ +                          $ \ffd1{c!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_c}{c^c} $ \Big) $$
#ceq(e)
    　$$ =\!\!\!\!? $ \lim_{c \to \infty} $ \lim_{c \to \infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1a \Big)^c $$
#ceq(d)