極限の分割 のバックアップ差分(No.3)

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  • 1 (2020.1107 (土) 0220.4900)
  • 2 (2020.1107 (土) 0319.3000)
  • 3 (2020.1107 (土) 0415.4100)
  • 4 (2020.1107 (土) 0527.3200)
  • 5 (2020.1107 (土) 0556.1900)
  • 6 (2020.1107 (土) 0747.1400)
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*背景 [#oef44f57]

自然底に対し、$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、定義式を２変数関数と見なして、極限操作と上下限操作で直観的に示す方法が示されていた。
$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、自然底の定義式を２変数関数と見なして、
直観的に２段階に分けて極限を取る方法が示されていた。
問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。

// @Bentweetou

お題：
#ceq(e)
    $$ e $$
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1c \Big)^c $$
#ceq(c)
    $$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1c \Big)^x $$
#ceq(e)
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \sum_{i=0}^c $ {}_c\mathrm{C}_i $ \ffd1{c^i} $$
#ceq(c)
    $$ = $ \lim_{c\to\infty} $ \Big( $ _{_1}\cancel{{}_c\mathrm{C}_0}\!\!\ffd1{_{_1}\cancel{c^0}} $$
    $$ +                             $ _{_c}\cancel{{}_c\mathrm{C}_1}\!\!\ffd1{_{_c}\cancel{c^1}} $$
    $$ +                             $              {}_c\mathrm{C}_2   $ \ffd1{             c^2 } $$
    $$ +                             $              {}_c\mathrm{C}_3   $ \ffd1{             c^3 } $$
    $$ + $ \cdots $ +                $              {}_c\mathrm{C}_c   $ \ffd1{             c^c } $ \Big) $$
    $$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm{C}_n $ \ffd1{x^n} $$
#ceq(c)
    $$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0} $ \ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}} $$
    $$ +                             $ ^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1} $ \ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}} $$
    $$ +                             $                 {}_x\mathrm{C}_2  $ \ffd1{               x^2      } $$
    $$ +                             $                 {}_x\mathrm{C}_3  $ \ffd1{               x^3      } $$
    $$ + $ \cdots $ +                $                 {}_x\mathrm{C}_x  $ \ffd1{               x^x      } $ \Big) $$
#ceq(e)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \sum_{i=2}^c $ {}_c\mathrm{C}_i $ \ffd1{c^i} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_x\mathrm{C}_n $ \ffd1{x^n} $$
#ceq(e)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \sum_{i=2}^c $ \ffd1{c!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_i}{c^i} $$
#ceq(c)
    　$$ = $ 2 $ + $ \lim_{c \to \infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_2}{c^2} $$
    　$$ +                                       $ \ffd1{3!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_3}{c^1} $$
    　$$ + $ \cdots $ +                          $ \ffd1{c!} $ \ffd{_c\mathrm{P}_c}{c^c} $ \Big) $$
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ffd1{n!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2} $$
    $$ +                                     $ \ffd1{3!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^1} $$
    $$ + $ \cdots $ +                        $ \ffd1{x!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x} $ \Big) $$
#ceq(e)
    　$$ =\!\!\!\!? $ \lim_{c \to \infty} $ \lim_{c \to \infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1a \Big)^c $$
#ceq(c)
    $$ =\!\!\!\!? $$
    $$     2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{n!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_2}{u^2} $$
    $$ +                                                 $ \ffd1{3!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_3}{u^1} $$
    $$ + $ \cdots $ +                                    $ \ffd1{v!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_v}{u^v} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{n!} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $$
    $$ +                                     $ \ffd1{3!} $$
    $$ + $ \cdots $ +                        $ \ffd1{v!} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ < $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{2^{n-1}} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2^1    } $$
    $$ +                                     $ \ffd1{2^2    } $$
    $$ + $ \cdots $ +                        $ \ffd1{2^{v-1}} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $ \ffd1{2^m} $$
#ceq(c)
    $$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
    $$ = $ 3 $$
#ceq(d)

* 極限の分割実行 [#g1ec33df]
;,２変数関数$$ f(u,v) $$の分割極限$$ \lim_{v\to k} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $ = $ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $$に対し、
;,１変数に束縛した関数$$ g(x) $ = $ f(x,x) $$の極限$$ \lim_{x\to k} $ g(x) $$が存在するとして、
;,両者が一致するか。

#ceq(e)
  $$ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $ =\!\!\!\!? $ \lim_{x\to k} $ f(x,x) $$
#ceq(d)