%indent
*背景 [#oef44f57]
$$ 2 $ < $ e < $ 3 $$の証明で、自然底の定義式を2変数関数と見なして、
直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。
問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。
// @Bentweetou
お題:
#ceq(e)
$$ e $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ 1 $ + $ \ffd1c \Big)^x $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=0}^x $ {}_x\mathrm{C}_n $ \ffd1{x^n} $$
#ceq(c)
$$ = $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ ^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0} $ \ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}} $$
$$ + $ ^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1} $ \ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}} $$
$$ + $ {}_x\mathrm{C}_2 $ \ffd1{ x^2 } $$
$$ + $ {}_x\mathrm{C}_3 $ \ffd1{ x^3 } $$
$$ + $ \cdots $ + $ {}_x\mathrm{C}_x $ \ffd1{ x^x } $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ {}_x\mathrm{C}_n $ \ffd1{x^n} $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \sum_{n=2}^x $ \ffd1{n!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n} $$
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{x\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2} $$
$$ + $ \ffd1{3!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^1} $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{x!} $ \ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ =\!\!\!\!? $$
$$ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{n!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n} $$
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \lim_{u\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_2}{u^2} $$
$$ + $ \ffd1{3!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_3}{u^1} $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{v!} $ \ffd{_u\mathrm{P}_v}{u^v} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{n!} $$
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2!} $$
$$ + $ \ffd1{3!} $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{v!} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ < $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{n=2}^v $ \ffd1{2^{n-1}} $$
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \Big( $ \ffd1{2^1 } $$
$$ + $ \ffd1{2^2 } $$
$$ + $ \cdots $ + $ \ffd1{2^{v-1}} $ \Big) $$
#ceq(e)
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ \lim_{v\to\infty} $ \sum_{m=1}^{v-1} $ \ffd1{2^m} $$
#ceq(c)
$$ = $ 2 $ + $ 1 $$
#ceq(e)
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ = $ 3 $$
#ceq(d)
* 極限の分割実行 [#g1ec33df]
;,2変数関数$$ f(u,v) $$の分割極限$$ \lim_{v\to k} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $ = $ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $$に対し、
;,1変数に束縛した関数$$ g(x) $ = $ f(x,x) $$の極限$$ \lim_{x\to k} $ g(x) $$が存在するとして、
;,両者が一致するか。
#ceq(e)
$$ \lim_{u\to k} $ \lim_{v\to k} $ f(u,v) $ =\!\!\!\!? $ \lim_{x\to k} $ f(x,x) $$
#ceq(d)