極限の分割のバックアップ(No.4)

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極限の分割へ行く。
- 1 (2020.1107 (土) 0220.4900)
- 2 (2020.1107 (土) 0319.3000)
- 3 (2020.1107 (土) 0415.4100)
- 4 (2020.1107 (土) 0527.3200)
- 5 (2020.1107 (土) 0556.1900)
- 6 (2020.1107 (土) 0747.1400)
- 7 (2020.1107 (土) 1037.3000)
- 8 (2020.1107 (土) 2135.1100)

背景

$$ 2 $$ $$ < $$ $$ e < $$ $$ 3 $$ の証明で、自然底の定義式を２変数関数と見なして、直観的に２段階に分けて極限を取る方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。

お題：

	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1c \Big)^x$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^1}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
	$=\!\!\!\!?$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_2}{u^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_3}{u^1}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_v}{u^v}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd1{3!}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2^1 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{v-1}}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{m=1}^{v-1}$ $\ffd1{2^m}$

$=\!\!\!\!?$ で示した変換の可否が問題となる。

分割して極限を取らない方法

本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。

$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1c \Big)^x$
$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^1}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{x^n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{x^2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{x^3}{x^1}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{x^x}{x^x}$ $\Big)$	$_x\mathrm{P}_y$
$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{n-1}}$ $\Big)$	$n! > 2^{n-1}$
$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{m=1}^{v-1}$ $\ffd1{2^m}$

極限の分割実行

２変数関数 $$ f(u,v) $$ の分割極限 $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ = $$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ に対し、
１変数に束縛した関数 $$ g(x) $$ $$ = $$ $$ f(x,x) $$ の極限 $\lim_{x\to k}$ が存在するとして、
両者が一致するか。

$\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ $$ f(u,v) $$ $=\!\!\!\!?$ $\lim_{x\to k}$ $$ f(x,x) $$

もし $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ f(u,v) $$ $\neq$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ であれば、
極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共通の値を対応できないため、不成立は自明である。
この可換性は、の極限 $\lim_{(u,v)\to(k,k)}$ の存在条件ともされ、f(u,v)が微分可能なら
$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $

そのため、

極限の分割 のバックアップ(No.4)

背景

分割して極限を取らない方法

極限の分割実行

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