の証明で、自然底の定義式を2変数関数と見なして、直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。
お題:
で示した変換の可否が問題となる。
本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。
最初の不等号では、を利用している。例えばである。 であり、各因数においてが言えるため、が成り立つ。
次の不等号では、を利用している。例えばである。 であり、を除き各因数においてが言えるため、が成り立つ。
2変数関数の分割極限に対し、 1変数に束縛した関数の極限が存在するとして、 両者が一致するか。
もしであれば、 極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共通の値を対応できないため、不成立は自明である。 この可換性は、の極限の存在条件ともされ、f(u,v)が微分可能なら $$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $
そのため、