極限の分割のバックアップ(No.7)

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極限の分割へ行く。
- 1 (2020.1107 (土) 0220.4900)
- 2 (2020.1107 (土) 0319.3000)
- 3 (2020.1107 (土) 0415.4100)
- 4 (2020.1107 (土) 0527.3200)
- 5 (2020.1107 (土) 0556.1900)
- 6 (2020.1107 (土) 0747.1400)
- 7 (2020.1107 (土) 1037.3000)
- 8 (2020.1107 (土) 2135.1100)

背景

$$ 2 $$ $$ < $$ $$ e < $$ $$ 3 $$ の証明で、自然底の定義式を２変数関数と見なして、直観的に２段階に分けて極限を取る方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。

お題：

	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1c \Big)^x$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^1}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
	$=\!\!\!\!?$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_2}{u^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_3}{u^1}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_v}{u^v}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd1{3!}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2^1 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{v-1}}$ $\Big)$

$=\!\!\!\!?$ で示した変換の可否が問題となる。

極限を分割しない方法

本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。

	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1c \Big)^x$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^3}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{x^n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\cancel{ \ffd{x^2}{x^2} }$ $\ffd1{3!}$ $\cancel{ \ffd{x^3}{x^3} }$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\cancel{\!\ffd{x^x}{x^x}\!}$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{x-1}}$ $\Big)$

最初の不等号では、 $_m\mathrm{P}_n$ $\leq$ $$ m^n $$ を利用している。例えば $_4\mathrm{P}_3$ $$ = $$ $4\times3\times2$ $\leq$ $4\times4\times4$ $$ = $$ $$ 4^3 $$ である。
$_m\mathrm{P}_n$ $$ = $$ $m(m-1)\cdots(m-n)$ $$ = $$ $\prod_{k=0}^n$ $$ (m-k) $$ であり、各因数において $$ m-k $$ $\leq$ $$ m $$ が言えるため、 $_m\mathrm{P}_n$ $\leq$ $\prod_{k=0}^n$ $$ m $$ $$ = $$ $$ m^n $$ が成り立つ。

次の不等号では、 $$ n! $$ $\geq$ $2^{n-1}$ を利用している。例えば $$ 4! $$ $$ = $$ $4\times3\times2\times1$ $\geq$ $2\times2\times2\times1$ $$ = $$ $2^{4-1}$ である。
$$ = $$ $n(n-1)\cdots2\cdot1$ $$ = $$ $\prod_{k=1}^n$ $$ k $$ であり、 $$ k=1 $$ を除き各因数において $$ k $$ $\geq$ $$ 2 $$ が言えるため、 $$ n! $$ $\geq$ $\prod_{k=2}^n 2$ $$ = $$ $2^{n-1}$ が成り立つ。

極限の分割実行

オリジナルの手法では、 $\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$ を $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$ に変換している。
$$ f(u,v) $$ $$ = $$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$ と置けば、 $\lim_{x\to\infty}f(x,x)$ $=\!\!\!\!?$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ という問題になる。
２変数関数に対して一般的に成立しないため、場合によってはこの成立条件を示す必要がある。

実際問題、少なくとも２階微分が可能なほどに滑らかな $$ C^2 $$ 級の関数であれば、任意方向に滑らかで連続的ということで要件を満たす。
$\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$

細かい証明を示すには、

２変数関数 $$ f(u,v) $$ の分割極限 $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ = $$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ に対し、
１変数に束縛した関数 $$ g(x) $$ $$ = $$ $$ f(x,x) $$ の極限 $\lim_{x\to k}$ が存在するとして、
両者が一致するか。

$\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ $$ f(u,v) $$ $=\!\!\!\!?$ $\lim_{x\to k}$ $$ f(x,x) $$

もし $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ f(u,v) $$ $\neq$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ であれば、
極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共通の値を対応できないため、不成立は自明である。
この可換性は、の極限 $\lim_{(u,v)\to(k,k)}$ の存在条件ともされ、f(u,v)が微分可能なら
$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $

そのため、

利点

この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。
例えば、 $$ 2.64 < e < 2.78 $$ を証明する類の問題では、適当な項まで計算して打ち切れば下端を出せて、適当な等比数列の級数で上から押さえれば上端を出せる。
$$ 2 $$ に $\ffd1{2!}$ $$ = $$ $$ 0.5 $$ を加えても $$ 2.5 $$ と欲しい下限 $$ 2.64 $$ より大きいが、
更に $\ffd1{3!}$ $$ = $$ $$ 0.16666 $$ を加えて $$ 2.6666 $$ にすればより十分に大きい下限を得られる*1。

残差は $\ffd1{4!}$ $$ = $$ $\ffd12$ $\cdot$ $\ffd13$ $\cdot$ $\ffd14$ からの級数で、 $\ffd13$ $\cdot$ $\ffd14$ さえ括りだせば、他の因数を全て $\ffd12$ と見なした緩い上端を出せる。
$\ffd1{12}$ $$ = $$ $$ 0.0833 $$ のため、 $$ 2.6666 $$ に加えれば $$ 2.7500 $$ という $$ 2.78 $$ に対して十分に小さい上端を得られる。

*1 理論値は $2.6666\cdots$ だが、下限の計算であるため緩い側に倒した切り下げを使っていることに注意。逆に上限の計算では切り上げることになる。四捨五入は危険で使えない。

極限の分割 のバックアップ(No.7)

背景

極限を分割しない方法

極限の分割実行

利点

極限の分割のバックアップ(No.7)