極限の分割 のバックアップの現在との差分(No.8) |
背景の証明で、自然底の定義式を2変数関数と見なして、直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。の証明で、自然底の定義式を2変数関数と見なして、 直観的に2段階に分けて極限を取る方法が示されていた。 問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。 お題:
で示した変換の可否が問題となる。 極限を分割しない方法本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。
最初の不等号では、を利用している。例えばである。 次の不等号では、を利用している。例えばである。 極限の分割可否2変数関数としての一般論2変数関数としての一般論上下で押さえる発想だけで示せることを確認したところで、本題に入る。 例えば、について、 に一致する。 に一致する。 しかし、について、 一般に、多変数関数では「接近経路に寄らずに一定の値を取る」ことが極限を定義できる条件になっている。 接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフ接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフから軸に平行にに近づける経路はグラフにできないため、 WolframAlphaでをプロットしてみると付近に捩じれた谷と山が見える。 原点を除き、の線上は常に同じ値を取り、付近では山と谷が隣り合わせになる。 これは一般にが定義できない理由でもある。 これはを定義できない理由でもある。 2変数関数としての一般論2変数関数としての一般論2変数関数に対して一般的に成立しないため、場合によってはこの成立条件を示す必要がある。 実際問題、少なくとも2階微分が可能なほどに滑らかな級の関数であれば、任意方向に滑らかで連続的ということで要件を満たす。 細かい証明を示すには、 2変数関数の分割極限に対し、 もしであれば、 そのため、 利点この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。 残差はからの級数で、さえ括りだせば、他の因数を全てと見なした緩い上端を出せる。 |