背景（暫定） EditToHeaderToFooter

極座標は曲線座標であるため、成分計算に線形性が無い。
しかし、回転系に導入した正規直交系では線形性を持つ。
これらは似て非なるものであるが、両方とも「極座標」として混同され易い。

Ors.pngOuv.png
２次元極座標系２次元回転座標系

極座標系 EditToHeaderToFooter

極座標系とは、正規直交座標系$$ O_{xy} $$の成分$$ (x,y) $$に対し、
変換$$ \left\{\begin{array}{c} x = r \cos \theta \\ y = r \cos \theta \end{array}\right. $$を満たす成分の組$$ ((r,\theta)) $$で表される座標系$$ O_{r\theta} $$である*1*2

以下に点の対応する成分を例示する。

点$$ O_{xy} $$$$ O_{r\theta} $$
$$ A $$$$ (1,0) $$$$ ((1,0)) $$
$$ B $$$$ (0,1) $$$$ ((1,\ffd{\pi}2)) $$
$$ C $$$$ (1,1) $$$$ ((\sqrt2,\ffd{\pi}4)) $$

なぜなら、$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = 1 \cos 0 \\ 0 = 1 \cos 0 \end{array}\right. $$、$$ \left\{\begin{array}{c} 0 = 1 \cos \ffd{\pi}2 \\ y = 1 \cos \ffd{\pi}2 \end{array}\right. $$、$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = \sqrt2 \cos \ffd{\pi}4 \\ y = \sqrt2 \cos \ffd{\pi}4 \end{array}\right. $$。

*1 区別のため、本記事では正規直交座標系の成分を丸括弧で$$ (x,y) $$と表し、極座標を二重丸括弧で$$ ((r,\theta)) $$と表す
*2 ref: http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/others/coordinates/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/others/coordinates/circular_coordinates.html

回転座標系 EditToHeaderToFooter

回転座標系とは、正規直交座標系を$$ O_{xy} $$を原点回りに角度$$ \theta $$だけ回転した座標系$$ O^\theta_{uv} $$である*3。
変換は$$ \left\{\begin{array}{c} u = x \cos \theta - y \sin \theta \\ v = y \cos \theta + x \sin \theta \end{array}\right. $$により与えられる。

簡単なため、$$ \theta $$$$ = $$

 45^\circle 
/home/limg/www/LimgMath/eq! Missing { inserted.
 
                   \begingroup 
l.34 $}
の場合のベクトルの対応する成分を例示する。

点$$ O_{xy} $$
 O^{45^\circle}_{uv} 
/home/limg/www/LimgMath/eq! Missing { inserted.
 
                   \begingroup 
l.34 $}
$$ A $$$$ (1,0) $$
 [\ffd1\sqrt2,-\ffd1\sqrt2] 
/home/limg/www/LimgMath/eq! Missing { inserted.
 
                   }
l.34 $}
$$ B $$$$ (0,1) $$
 [\ffd1\sqrt2, \ffd1\sqrt2] 
/home/limg/www/LimgMath/eq! Missing { inserted.
 
                   }
l.34 $}
$$ C $$$$ (1,1) $$$$ [\sqrt2 , 0] $$

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf
fileOuv.png 418件 [詳細] fileOrs.png 447件 [詳細]
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