極座標系と回転座標系 のバックアップソース(No.2)

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  • 1 (2020.0920 (日) 1349.1500)
  • 2 (2020.0920 (日) 1452.1600)
  • 3 (2020.0920 (日) 1552.0000)
  • 4 (2020.0920 (日) 1705.5200)
  • 5 (2020.0921 (月) 0636.5200)
  • 6 (2020.0921 (月) 0741.0100)

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* 背景（暫定） [#cc9937c3]

;,極座標は曲線座標であるため、成分計算に線形性が無い。
;,しかし、回転系に導入した正規直交系では線形性を持つ。
;,これらは似て非なるものであるが、両方とも「極座標」として混同され易い。

|&attachref(./Ors.png,30%);|&attachref(./Ouv.png,30%);|
|２次元極座標系|２次元回転座標系|

* 極座標系 [#h94b115a]
;,極座標系とは、正規直交座標系$$ O_{xy} $$の成分$$ (x,y) $$に対し、
;,変換$$ \left\{\begin{array}{c} x = r \cos \theta \\ y = r \cos \theta \end{array}\right. $$を満たす成分の組$$ ((r,\theta)) $$で表される座標系$$ O_{r\theta} $$である((区別のため、本記事では正規直交座標系の成分を丸括弧で$$ (x,y) $$と表し、極座標を二重丸括弧で$$ ((r,\theta)) $$と表す))((ref: http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/others/coordinates/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/others/coordinates/circular_coordinates.html))

;,以下に点の対応する成分を例示する。
||lx:|lx:|c
|点     |$$ O_{xy} $$|$$ O_{r\theta}      $$|
|$$ A $$|$$ (1,0)  $$|$$ ((1,0))          $$|
|$$ B $$|$$ (0,1)  $$|$$ ((1,\ffd{\pi}2))      $$|
|$$ C $$|$$ (1,1)  $$|$$ ((\sqrt2,\ffd{\pi}4)) $$|

;,なぜなら、
;.$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = 1 \cos 0 \\ 0 = 1 \cos 0 \end{array}\right. $$、
;.$$ \left\{\begin{array}{c} 0 = 1 \cos \ffd{\pi}2 \\ y = 1 \cos \ffd{\pi}2 \end{array}\right. $$、
;.$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = \sqrt2 \cos \ffd{\pi}4 \\ y = \sqrt2 \cos \ffd{\pi}4 \end{array}\right. $$。

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* 回転座標系 [#vd19f35a]
;,回転座標系とは、正規直交座標系を$$ O_{xy} $$を原点回りに角度$$ \theta $$だけ回転した座標系$$ O^\theta_{uv} $$である((ref: https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/rikigaku2/sec12.pdf))。
;,変換は$$ \left\{\begin{array}{c} u = x \cos \theta - y \sin \theta  \\ v = y \cos \theta + x \sin \theta \end{array}\right. $$により与えられる。

;,簡単なため、$$ \theta $ = $ 45^\circle $$の場合のベクトルの対応する成分を例示する。
||lx:|lx:|c
|点     |$$ O_{xy} $$|$$ O^{45^\circle}_{uv}        $$|
|$$ A $$|$$ (1,0)  $$|$$ [\ffd1\sqrt2,-\ffd1\sqrt2] $$|
|$$ B $$|$$ (0,1)  $$|$$ [\ffd1\sqrt2, \ffd1\sqrt2] $$|
|$$ C $$|$$ (1,1)  $$|$$ [\sqrt2     ,           0] $$|




http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf
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