背景（暫定） EditToHeaderToFooter

極座標は曲線座標であるため、成分計算に線形性が無い。
しかし、回転系に導入した直交系ないし斜交系では線形性を持つ。
これらは似て非なるものであるが、両方とも「極座標」と呼ばれ、混同しやすい。

Ors.pngOuv.png
２次元極座標系２次元回転座標系

各座標系とベクトルの成分分解 EditToHeaderToFooter

正規直交座標系 EditToHeaderToFooter

正規直交座標系$$ O_{xy} $$とは、原点で直交する有向直線を座標軸とし、
対象の点を通り書く軸に卸す垂線の足における符号付き距離で点を表す座標系である*1。
一番扱い易いため、座方形を考える際に、正規直交座標系を基準に考える。

極座標系 EditToHeaderToFooter

極座標系とは、正規直交座標系$$ O_{xy} $$の成分$$ [x,y] $$に対し、
変換$$ \left\{\begin{array}{c} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array}\right. $$を満たす成分の組$$ ((r,\theta)) $$で表される座標系$$ O_{r\theta} $$である*2*3。

以下に点の対応する成分を例示する。

点$$ O_{xy} $$$$ O_{r\theta} $$備考
$$ A $$$$ [1,0] $$$$ ((1,0)) $$$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = 1 \cos 0 \\ 0 = 1 \sin 0 \end{array}\right. $$
$$ B $$$$ [0,1] $$$$ ((1,\ffd\pi2)) $$$$ \left\{\begin{array}{c} 0 = 1 \cos \ffd\pi2 \\ y = 1 \sin \ffd\pi2 \end{array}\right. $$
$$ C $$$$ [1,1] $$$$ ((\sqrt2,\ffd\pi4)) $$$$ \left\{\begin{array}{c} 1 = \sqrt2 \cos \ffd\pi4 \\ y = \sqrt2 \sin \ffd\pi4 \end{array}\right. $$
*1 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB
*2 区別のため、本記事では正規直交座標系の成分を角括弧で$$ [x,y] $$と表し、極座標を二重丸括弧で$$ ((r,\theta)) $$と表す。通常は表記で区別しない。
*3 ref: http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/others/coordinates/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/others/coordinates/circular_coordinates.html

回転座標系 EditToHeaderToFooter

回転座標系とは、正規直交座標系を$$ O_{xy} $$を原点回りに角度$$ \theta $$だけ回転した座標系$$ O^\theta_{uv} $$である*4。
変換は$$ \left\{\begin{array}{c} u = + x \cos \theta + y \sin \theta \\ v = - x \sin \theta + y \cos \theta \end{array}\right. $$により与えられる。

簡単なため、$$ \theta $$$$ = $$$$ \ffd\pi8 $$の場合のベクトルの対応する成分を例示する*5。

点$$ O_{xy} $$$$ O^{\pi/8}_{uv} $$備考
$$ A $$$$ [1,0] $$$$ (\ffd1{\sqrt2},\ffd{-1}{\sqrt2}) $$$$ \left\{\begin{array}{c} \ffd1{\sqrt2} = + 1 \cos \ffd\pi8 + 0 \sin \ffd\pi8 \\ \ffd{-1}{\sqrt2} = - 1 \sin \ffd\pi8 + 0 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right. $$
$$ B $$$$ [0,1] $$$$ (\ffd1{\sqrt2}, \ffd1{\sqrt2}) $$$$ \left\{\begin{array}{c} \ffd1{\sqrt2} = + 0 \cos \ffd\pi8 + 1 \sin \ffd\pi8 \\ \ffd1{\sqrt2} = - 0 \sin \ffd\pi8 + 1 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right. $$
$$ C $$$$ [1,1] $$$$ (\sqrt2 , 0 ) $$$$ \left\{\begin{array}{c} \sqrt2 = + 1 \cos \ffd\pi8 + 1 \sin \ffd\pi8 \\ \;\;0\; = - 1 \sin \ffd\pi8 + 1 \cos \ffd\pi8 \end{array} \right. $$
*4 ref: https://www.phys.chuo-u.ac.jp/labs/nakano/rikigaku2/sec12.pdf
*5 区別のため、本記事ではベクトルの極座標を一重丸括弧で$$ (r,\theta) $$と表す。通常は表記で区別しない。

２つの「極座標」と線形性 EditToHeaderToFooter

極座標系$$ O_{r\theta} $$と回転座標系$$ O^\theta_{uv} $$は既に示した通り、$$ O_{xy} $$からの変換式も対応する点の座標値も異なる別の座標系である。
しかし、極座標系の基底ベクトルを導入する文脈では両方を区別せずに「極座標」と言ったりする。

例えば、http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf のP53から§5.1.2 平面極座標では、
座標値は式(5.15)が示す極座標の変換 $$ \left\{\begin{array}{c} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{array}\right. $$ に従うのに対し、
単位ベクトルは式(5.17)が示す回転座標系の変換$$ \left\{\begin{array}{c} e_r = + e_x \cos e_\varphi + e_y \sin e_\varphi \\ e_\varphi = - e_x \sin e_\varphi + e_y \cos e_\varphi \end{array}\right. $$ に従っている。
成分は具体的に書いてないが、全く同じ形をした$$ \left\{\begin{array}{c} A_r = + A_x \cos A_\varphi + A_y \sin A_\varphi \\ A_\varphi = - A_x \sin A_\varphi + A_y \cos A_\varphi \end{array}\right. $$ に従う。

ベクトル$$ \:A $$が位置を表すとき、
直交座標では座標の成分もベクトルの成分で共通して$$ [x, y] $$$$ = $$$$ [A_x, A_y] $$となるが、
極座標では座標の成分$$ ((r, \varphi)) $$とベクトルの成分$$ (A_r, A_\varphi) $$が一致しない。

具体に、$$ [x,y] $$$$ = $$$$ [A_x, A_y] $$$$ = $$$$ [1,1] $$のとき、$$ \varphi $$$$ = $$$$ \ffd\pi4 $$、$$ r $$$$ = $$$$ \sqrt2 $$、$$ A_r $$$$ = $$$$ \sqrt2 $$、$$ A_\varphi $$$$ = $$$$ 0 $$となる。
すなわち、$$ ((r, \varphi)) $$$$ = $$$$ ((\sqrt2, \ffd\pi4)) $$$$ \neq $$$$ (\sqrt, 0) $$$$ = $$$$ (A_r, A_\varphi) $$である。
$$ [x, y] $$$$ = $$$$ [A_x, A_y] $$に対し異なる変換を施しているので当然の結果である。
しかし$$ ((r, \varphi)) $$も$$ (A_r, A_\varphi) $$も「極座標」と呼ぶから混乱が起こる。

前節では正規直交座標系を$$ O_{xy} $$、極座標系を$$ O_{r\theta} $$と回転座標系を$$ O^\theta_{uv} $$と区別しているが、
引用した資料にある一般的な流儀では、$$ \theta $$が$$ \varphi $$に変わった他、$$ r,\theta $$と$$ u,v $$が区別してない。
$$ O_{xy} $$はそのまま、$$ O_{r\theta} $$$$ \rightarrow $$$$ $$ O_{r\varphi} $$ 、 $$ O^\theta_{uv} $ \rightarrow $ O^\varphi_{r\varphi} $$という対応になっている。

位置以外で、$$ ((r, \varphi)) $$の代わとしてベクトルで考えたのが$$ (A_r, A_\varphi) $$であるので、
ベクトル解析では「極座標」と言えば専ら$$ (A_r, A_\varphi) $$を指す。ただし、導入時を除けば。

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf
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