概要 EditToHeaderToFooter

世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学では近似値として扱う必要がある。
そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことになる値の区間を考える必要がある。
有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくなる。

しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
有効数字の表す区間として扱って評価する例はあまり見かけない。

そこで、最近見かけた問題を区間として有効数字を解析してみる。

問題 EditToHeaderToFooter

https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 より
常用対数で大きい整数の桁数を予測する問題において、有効数字の配慮不足で誤答に至った例が紹介された。
丁寧にも、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足りず、正解の保障が無いことも指摘されている。

例題に丁度良いので、以下引用：

〔教師による不正解〕

　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ ( $$$$ \log_{10} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \log_{10} $$$$ 3 $$$$ ) $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.3010 $$$$ + $$$$ 0.4771 $$$$ ) $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.7781 $$$$ = $$$$ 3113.9562 $$

よって，

　　$$ 311\:3 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\:4 $$

したがって，

　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\:4 $$桁の整数である。

〔生徒による正解〕

　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.7782 $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3114.3564 $$

よって，

　　$$ 311\:4 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\:5 $$

したがって，

　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\:5 $$桁の整数である。

結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
$$ \log_{10} 36^{2001} $$の結果も有効なのは4桁までで、一の位が変わり得るため、どちらも「よって」が言えない。

区間演算で見る有効数字 EditToHeaderToFooter

以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化してみる。
なお、式の可読性を良くするため、一般的でない凌宮数学の区間表記を用いる。
四捨五入が使われるため、次の半開区間が扱われる：

　　$$ a{:}.b $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ a $$ ≦ $$ x $$ ＜ $$ b $$$$ \} $$

まずは、本当に誤答に至った 〔教師による不正解〕
　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ ( $$$$ \log_{10} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \log_{10} $$$$ 3 $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ \in $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.30095{:}.0.30105 $$$$ + $$$$ 0.47705{:}.0.47715 $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.7780{:}.0.7782 $$$$ = $$$$ 3113.5560{:}.3114.3564 $$
よって、
　　$$ 3113.5560 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.3564 $$
したがって，
　　$$ 36^{2001} $$は$$ 3114 $$または$$ 3115 $$桁の整数である。

つぎに、正答とされている 〔生徒による正解〕
　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ \in $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.77815{:}.0.77825 $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3114.1563{:}.3114.5565 $$
よって、
　　$$ 3114.1563 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.5565 $$
したがって，
　　$$ 36^{2001} $$は$$ 3115 $$桁の整数である。
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