区間演算で見る有効数字 < 凌宮数学 (LimgMath)

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概要

世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学では近似値として扱う必要がある。
そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことになる値の区間を考える必要がある。
有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくなる。

しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
有効数字の誤差を区間として厳密に扱う例はあまり見かけない。

そこで、最近見かけた誤差の問題を区間として扱ってみる。

問題

https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 より
大きい整数の桁数を予測する問題において、誤答に至る例が紹介された。
ご丁寧に、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足りないがために、
当たりが悪ければ誤解と成りうることまで言及されている。

例題に丁度良いので、以下引用：

〔教師による不正解〕
　　 $\log_{10} 36^{2001}$ $\log_{10}$ $6^{4002}$ $\log_{10}$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\log_{10}$ $\log_{10}$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\times$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\times$
よって，
　　 $311\iro[ak]3$ ≦ $\log_{10} 36^{2001}$ ＜ $311\iro[ak]4$
したがって，
　　 $36^{2001}$ は $311\iro[ak]4$ 桁の整数である。

〔生徒による正解〕
　　 $\log_{10} 36^{2001}$ $\log_{10}$ $6^{4002}$ $\log_{10}$
　　
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\times$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$
よって，
　　 $311\iro[ak]4$ ≦ $\log_{10} 36^{2001}$ ＜ $311\iro[ak]5$
したがって，
　　 $36^{2001}$ は $311\iro[ak]5$ 桁の整数である。

結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも「よって」が言えない。
両方とも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
結果が有効なのは4桁までしかなく、一の位が変わり得る。

区間演算で見る有効数字

区間演算による解答例

以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化してみる。
なお、ここでは以下の誤差表記を用いる。

凌宮表記	$\{$ $\pipe$ ≦ ＜ $\}$
工学表記	$k^{+b}_{-a}$
工学表記	$k{\pm}a$

まずは、本当に誤答に至った〔教師による不正解〕
　　 $\log_{10} 36^{2001}$ $$ = $$ $\log_{10}$ $6^{4002}$ $$ = $$ $$ 4002 $$ $\log_{10}$ $$ 6 $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ ( $$ $\log_{10}$ $$ 2 $$ $$ + $$ $\log_{10}$ $$ 3 $$ $$ ) $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\in$ $\times$ $$ ( $$ $$ 0.3001 $$ $$ + $$ $$ [-0.00005{:}.0.00005] $$ $$ + $$ $$ 0.4771 $$ $$ + $$ $$ ) $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ 4002 $$ $\times$ $$ ( $$ $$ 0.7781 $$ $$ + $$ $$ [-0.0001{:}.0.0001] $$ $$ ) $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ 3113.9562 $$ $$ + $$ $$ [-0.4002{:}.0.4002] $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ 3113.5560{:}.3114.3564 $$
よって、 $$ 3113.5560 $$ ≦ $\log_{10} 36^{2001}$ ＜ $$ 3114.3564 $$
したがって、 $36^{2001}$ は $$ 3114 $$ 桁または $$ 3115 $$ 桁の整数である。

つぎに、正答とされている〔生徒による正解〕
　　 $\log_{10} 36^{2001}$ $$ = $$ $\log_{10}$ $6^{4002}$ $$ = $$ $$ 4002 $$ $\log_{10}$ $$ 6 $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $\in$ $\times$ $$ ( $$ $$ 0.7782 $$ $$ + $$ $$ [-0.00005{:}.0.00005] $$ $$ ) $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ 3114.3564 $$ $$ + $$ $$ [-0.2001{:}.0.2001] $$ $$ ) $$
　　 $\phantom{\log_{10} 36^{2001}}$ $$ = $$ $$ 3114.1563{:}.3114.5565 $$
よって、 $$ 3114.1563 $$ ≦ $\log_{10} 36^{2001}$ ＜ $$ 3114.5565 $$
したがって、 $36^{2001}$ は $$ 3115 $$ 桁の整数である。

不正解の方は下限の $$ 3113.5560 $$ と上限の $$ 3114.3564 $$ の整数部が異なるため、
推定できる桁数が唯一に決まらず、幅を持った解答になる。
対して、正解の方は上限 $$ 3114.1563 $$ と下限 $$ 3114.5565 $$ の整数部が一致し、
推定できる桁数が唯一に決まる。

相違の原因

結論として、誤差の話ではあるが、所謂１桁増やせば済む問題ではなく、
一般的な誤差表記では見えない厄介なことが起きている。

ここで言う一般的な誤差表記は、四捨五入に基づく表記法である。
表記値を中心に、最小桁の重みに等しい幅の誤差を持つ区間と決められている。

例えば、上記の計算では対数の値を表す小数が該当する。
$$ 0.3001 $$ は $$ 0.30005{:}.0.30015 $$ という区間を表し、
$\log_{10}$ $$ 2 $$ $$ = $$ は対数の値が区間の中に存在することを意味する*1。

誤差付き数に関して、単純な加法も厳密に成立たないのが厄介な問題である。
問題を単純にするため、有効数字１桁の $$ 1 $$ $$ + $$ $$ 1 $$ $$ = $$ $$ 2 $$ について考えると：

　　 $$ 1 $$ $$ + $$ $$ [-0.5{:}.0.5] $$ $$ + $$ $$ 1 $$ $$ + $$ $$ = $$ $$ 2 $$ $$ + $$ $\iro[ak]{[-1{:}.1]}$ $\iro[ak]{\neq}$ $$ 2 $$ $$ + $$ $\iro[ak]{[-0.5{:}.0.5]}$

両方の $$ 1 $$ とも $$ 0.9 $$ から近似された場合、 $$ + $$ $$ = $$ $$ 1.8 $$ $\approx$ $$ 2 $$ で問題無いが、
両方の $$ 1 $$ とも $$ 0.6 $$ から近似された場合、 $$ + $$ $$ = $$ $$ 1.2 $$ $\approx$ $$ 1 $$ $\neq$ $$ 2 $$ となる。
$$ 1 $$ $$ + $$ $$ 1 $$ $$ = $$ $$ 2 $$ はもはや成立せず、 $$ 1 $$ $$ + $$ $$ 1 $$ $\supset$ $$ 2 $$ の関係で近似されているのが分る。

同様に、 $\log_{10}$ $$ 2 $$ $$ + $$ $\log_{10}$ $$ 3 $$ $$ = $$ $\log_{10}$ $$ 6 $$ が厳密に成り立つものの、
対応する $$ 0.3001 $$ $$ + $$ $$ 0.4771 $$ $$ = $$ $$ 0.7782 $$ は $$ + $$ $\supset$ である。
加算の方が区間が広いため、推定できる桁数が唯一でなくなるのが区間演算の結果である。

誤答する可能性がある、もう一つの原因

*1 そのため、凌宮数学では一般的な $$ = $$ や $\approx$ の他に、明示的に $\in$ を使うこともある。

まとめ・つなぎ

対数の有効数字を扱った例： http://photo-m.tp.chiba-u.jp/~yjo/tips/sign_figures.html

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