区間演算で見る有効数字 のバックアップ差分(No.2)

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  • 1 (2015.1002 (金) 2220.2200)
  • 2 (2015.1002 (金) 2327.4700)
  • 3 (2015.1002 (金) 2351.0900)
  • 4 (2015.1003 (土) 0710.1100)
  • 5 (2015.1003 (土) 0725.2900)
  • 6 (2015.1003 (土) 0847.0200)
  • 7 (2015.1003 (土) 1836.3200)
  • 8 (2015.1010 (土) 1446.2300)
  • 9 (2015.1010 (土) 1514.5400)

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* 概要 [#f3b1b5eb]
;,世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学では近似値として扱う必要がある。
;,そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことになる値の区間を考える必要がある。
;,有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくなる。

;,しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
;,高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
;,有効数字の表す区間として扱って評価する例はあまり見かけない。

;,そこで、最近見かけた問題を区間として有効数字を解析してみる。

* 問題な問題 [#ge721ab8]
* 問題 [#ge721ab8]
;,https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 より
;,常用対数で大きい整数の桁数を予測する問題において、有効数字の配慮不足で誤答に至った例が紹介された。
;,丁寧にも、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足りず、正解の保障が無いことも指摘されている。

;,例題に丁度良いので、以下引用：
>不正解
> $$ \log_10 $ 36^2001 $$
>〔教師による不正解〕
> 　　$$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $ = $ 4002 $ \log_{10} $ 6 $$
> 　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ ( $ \log_{10} $ 2 $ + $ \log_{10} $ 3 $ ) $$
> 　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \times $ ( $ 0.3010 $ + $ 0.4771 $ ) $$
> 　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \times $ 0.7781 $ = $ 3113.9562 $$
> よって，
> 　　$$ 311\:3 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\:4 $$
> したがって，
> 　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\:4 $$桁の整数である。

> 〔生徒による正解〕
> 　　$$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $ = $ 4002 $ \log_{10} $ 6 $$
> 　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 4002 $ \times $ 0.7782 $$
> 　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ = $ 3114.3564 $$
> よって，
> 　　$$ 311\:4 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\:5 $$
> したがって，
> 　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\:5 $$桁の整数である。

;,結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
;,$$ \log_{10} 36^{2001} $$の結果も有効なのは4桁までで、一の位が変わり得るため、どちらも「よって」が言えない。

* 区間演算で見る有効数字 [#h58cd9f3]
;,以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化してみる。
;,なお、式の可読性を良くするため、一般的でない凌宮数学の区間表記を用いる。
;,四捨五入が使われるため、次の半開区間が扱われる：
#ceq
　　$$ a{:}.b $ = $ \{ $ x $ \pipe $ a $$ ≦ $$ x $$ ＜ $$ b $ \} $$
#ceq(end)

;,まずは、本当に誤答に至った 〔教師による不正解〕
;,　　$$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $ = $ 4002 $ \log_{10} $ 6 $$
;,　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ =   $ 4002 $ ( $ \log_{10} $ 2 $ + $ \log_{10} $ 3 $ ) $$
;,　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ \in $ 4002 $ \times $ ( $ 0.30095{:}.0.30105 $ + $ 0.47705{:}.0.47715 $ ) $$
;,　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ =   $ 4002 $ \times $ 0.7780{:}.0.7782 $ = $ 3113.5560{:}.3114.3564 $$
;,よって、
;,　　$$ 3113.5560 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.3564 $$
;,したがって，
;,　　$$ 36^{2001} $$は$$ 3114 $$&font(#C00,b){または};$$ 3115 $$桁の整数である。

;,つぎに、正答とされている 〔生徒による正解〕
;,　　$$ \log_{10} 36^{2001} $ = $ \log_{10} $ 6^{4002} $ = $ 4002 $ \log_{10} $ 6 $$
;,　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ \in $ 4002 $ \times $ 0.77815{:}.0.77825 $$
;,　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $ =   $ 3114.1563{:}.3114.5565 $$
;,よって、
;,　　$$ 3114.1563 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.5565 $$
;,したがって，
;,　　$$ 36^{2001} $$は$$ 3115 $$桁の整数である。