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概要 EditToHeaderToFooter

世の中には実数を全て厳密に表すことができず、実験や工学では近似値として扱う必要がある。
そこで、有効数字という概念が登場し、近似値が表すことになる値の区間を考える必要がある。
有効数字を正しく扱えないと、正しい結果が保障されなくなる。

しかし、世の中には便利な区間表記が無いせいか、
高校や大学の授業で有効数字の扱い方を教しえるものの、
有効数字の誤差を区間として厳密に扱う例はあまり見かけない。

そこで、最近見かけた誤差の問題を区間として扱ってみる。

問題 EditToHeaderToFooter

https://twitter.com/y_bonten/status/649834242617118720 より
大きい整数の桁数を予測する問題において、誤答に至る例が紹介された。
ご丁寧に、正解とされた方も、有効数字に対する配慮が足りないがために、
当たりが悪ければ誤解と成りうることまで言及されている。

例題に丁度良いので、以下引用：

〔教師による不正解〕

　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ ( $$$$ \log_{10} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \log_{10} $$$$ 3 $$$$ ) $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.3010 $$$$ + $$$$ 0.4771 $$$$ ) $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.7781 $$$$ = $$$$ 3113.9562 $$

よって，

　　$$ 311\iro[ak]3 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\iro[ak]4 $$

したがって，

　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]4 $$桁の整数である。

〔生徒による正解〕

　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$

　　

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ 0.7782 $$

　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3114.3564 $$

よって，

　　$$ 311\iro[ak]4 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 311\iro[ak]5 $$

したがって，

　　$$ 36^{2001} $$は$$ 311\iro[ak]5 $$桁の整数である。

結論から言うと、有効数字の観点から、どちらも「よって」が言えない。
両方とも対数を有効数字4桁の近似値に直しているため、
結果が有効なのは4桁までしかなく、一の位が変わり得る。

区間演算で見る有効数字 EditToHeaderToFooter

以下では、同じ問題を区間演算で考え得るずれを可視化してみる。
なお、式の可読性を良くするため、一般的でない凌宮数学の区間表記を用いる。
四捨五入が使われるため、誤差を半開区間として扱う：

　　$$ a{:}.b $$$$ = $$$$ \{ $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ a $$ ≦ $$ x $$ ＜ $$ b $$$$ \} $$

まずは、本当に誤答に至った 〔教師による不正解〕
　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ ( $$$$ \log_{10} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \log_{10} $$$$ 3 $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ \in $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.3001 $$$$ + $$$$ [-0.00005{:}.0.00005] $$$$ + $$$$ 0.4771 $$$$ + $$$$ [-0.00005{:}.0.00005] $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.7781 $$$$ + $$$$ [-0.0001{:}.0.0001] $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3113.9562 $$$$ + $$$$ [-0.4002{:}.0.4002] $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3113.5560{:}.3114.3564 $$
よって、$$ 3113.5560 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.3564 $$
したがって、$$ 36^{2001} $$は$$ 3114 $$桁または$$ 3115 $$桁の整数である。

つぎに、正答とされている 〔生徒による正解〕
　　$$ \log_{10} 36^{2001} $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6^{4002} $$$$ = $$$$ 4002 $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ \in $$$$ 4002 $$$$ \times $$$$ ( $$$$ 0.7782 $$$$ + $$$$ [-0.00005{:}.0.00005] $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3114.3564 $$$$ + $$$$ [-0.2001{:}.0.2001] $$$$ ) $$
　　$$ \phantom{\log_{10} 36^{2001}} $$$$ = $$$$ 3114.1563{:}.3114.5565 $$
よって、$$ 3114.1563 $$≦$$ \log_{10} 36^{2001} $$ ＜ $$ 3114.5565 $$
したがって、$$ 36^{2001} $$は$$ 3115 $$桁の整数である。

不正解の方は下限の$$ 3113.5560 $$と上限の$$ 3114.3564 $$の整数部が異なるため、
推定できる桁数が唯一に決まらず、幅を持った解答になる。
対して、正解の方は上限$$ 3114.1563 $$と下限$$ 3114.5565 $$の整数部が一致し、
推定できる桁数が唯一に決まる。

相違の原因 EditToHeaderToFooter

誤答に至る原因を探る前に、まず、相違の原因を明らかにする。
結論として、誤差の話ではあるが、簡易表記では見えないことが起きている。

ここで言う簡易表記とは、四捨五入に基づく誤差付き数の小数表記である。
上の計算では、対数の値を表す小数が該当する。
例えば、$$ 0.3001 $$は$$ 1.2335{:}.1.2345 $$という区間を表し、$$ log_{10} $$$$ 2 $$$$ = $$$$ 0.3001 $$は対数の値が区間の中に存在することを意味する*1。

小数による誤差付き数の表記で重要なのは、誤差区間の幅が最小桁の重みに固定されている点である。
例えば、$$ 0.3001 $$の幅$$ 1.2345 $$$$ - $$$$ 1.2335 $$は最小桁の重み$$ 0.0001 $$と決まっている。

しかし、式変形において加算のために誤差の区間が$$ 2 $$倍に拡大されているのが分かる。
そのため、例え$$ \log_{10} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \log_{10} $$$$ 3 $$$$ = $$$$ \log_{10} $$$$ 6 $$が厳密に成り立つとしても、
これらを誤差付き数字に直した途端等号の左右で誤差区間が異なり*2、等号が成立しなくなる。

問題を単純にするため$$ 1 $$$$ + $$$$ 1 $$$$ = $$$$ 2 $$について考えると：

　　$$ 1 $$$$ + $$$$ [-0.5{:}.0.5] $$$$ + $$$$ 1 $$$$ + $$$$ [-0.5{:}.0.5] $$$$ = $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \iro[ak]{[-1{:}.1]} $$$$ \iro[ak]{\neq} $$$$ 2 $$$$ + $$$$ \iro[ak]{[-0.5{:}.0.5]} $$

幅が1の誤差付き数を足した結果の幅は2になるため、厳密には簡易表記では表せない。
このように、本来は足し算一つでも神経を使う必要がある。

誤答する可能性がある、もう一つの原因 EditToHeaderToFooter

*1 そのため、凌宮数学では、通常に使われる$$ = $$や$$ \approx $$を使わず、明示的に$$ \in $$を使っている。
*2 例えば、$$ 0.3001 $$$$ + $$$$ 0.4771 $$$$ = $$$$ 0.7782 $$に直した場合、左辺の誤差区間が$$ [-0.0001{:}.0.0001] $$になるのに対し、右辺の$$ 0.7782 $$は通常$$ [-0.00005{:}.0.00005] $$の誤差付きを表す。

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

対数の有効数字を扱った例： http://photo-m.tp.chiba-u.jp/~yjo/tips/sign_figures.html
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