高校範囲の二項乗算関係式の一覧

内包量と外延量の適応限界を調べるため、検証基盤として、高校範囲の二項乗算の関係式を表１に一覧する。
参考した教科書は、啓林館『高等学校 物理�毅� 改訂版』*1である。
また、�兇聾綟�に追記する。

成立条件には、関係式を使う際に明示的に課された条件のみを記入している。
量記号は基本的に教科書で使われているものを使用しているため、衝突が起きていることに注意。

*1 平成9年1月31日 文部所検定済み 高等学校理科用 [61 啓林館｜物Ｂ 600]
表１： 高校物理ＩＢ範囲の二項乗算の関係式
 量の意味成立条件導入量
運動
 $$ x $$＝$$ v $$$$ t $$$$ x $$：変位$$ v $$：速度$$ t $$：時間$$ v $$＝一定（等　速　直線運動）$$ v $$
$$ v $$＝$$ a $$$$ t $$$$ v $$：速度$$ a $$：加速度$$ t $$：時間$$ a $$＝一定（等加速度直線運動）$$ a $$
$$ F $$＝$$ k $$$$ x $$$$ F $$：力$$ k $$：バネ定数$$ x $$：変位$$ k $$＝一定（弾性バネ比例区間）$$ k $$
$$ F $$＝$$ m $$$$ a $$$$ F $$：力$$ m $$：質量$$ a $$：加速度$$ m $$＝一定 or $$ F $$＝一定 or $$ a $$＝一定　（※１）$$ F $$
$$ F $$＝$$ \mu $$$$ N $$$$ F $$：摩擦力$$ F $$：質量$$ N $$：垂直抗力$$ \mu $$＝一定（静止摩擦 or 一様摩擦面での動摩擦）$$ \mu $$
$$ N $$＝$$ F $$$$ l $$$$ N $$：モーメント$$ F $$：力$$ l $$：距離 $$ N $$
$$ p $$＝$$ m $$$$ v $$$$ p $$：運動量$$ m $$：質量$$ v $$：速度（暗黙的に$$ m $$＝一定）$$ p $$
$$ I $$＝$$ F $$$$ t $$$$ I $$：力積$$ F $$：力$$ t $$：時間$$ F $$＝一定$$ I $$
$$ W $$＝$$ F $$$$ x $$$$ W $$：仕事$$ F $$：力$$ x $$：変位$$ F $$＝一定$$ W $$
$$ W $$＝$$ P $$$$ t $$$$ W $$：仕事$$ P $$：仕事率$$ t $$：時間$$ P $$＝一定$$ P $$
$$ P $$＝$$ F $$$$ v $$$$ P $$：仕事率$$ F $$：力$$ v $$：速度$$ F $$＝一定$$ W $$
熱
 $$ C $$＝$$ m $$$$ c $$$$ C $$：熱容量$$ m $$：質量$$ c $$：比熱$$ C $$＝一定$$ C $$
$$ Q $$＝$$ C $$$$ t $$$$ Q $$：熱量$$ C $$：熱容量$$ t $$：時間$$ c $$＝一定$$ c $$
$$ Q $$＝$$ m $$$$ L $$$$ Q $$：熱量$$ m $$：質量$$ L $$：溶解熱$$ L $$＝一定$$ c $$
$$ F $$＝$$ p $$$$ S $$$$ F $$：力$$ p $$：圧力$$ S $$：面積$$ p $$＝一定$$ p $$
$$ W $$＝$$ p $$$$ V $$$$ W $$：仕事$$ p $$：圧力$$ V $$：体積$$ p $$＝一定 
電磁気
 $$ F $$＝$$ q $$$$ E $$$$ F $$：力$$ q $$：電荷$$ E $$：電場  
$$ U $$＝$$ V $$$$ q $$$$ W $$：エネルギ$$ q $$：電荷$$ V $$：電位$$ V $$＝一定$$ V $$
$$ V $$＝$$ E $$$$ x $$$$ V $$：電位$$ E $$：電場$$ x $$：変位$$ E $$＝一定　（一様電界） 
$$ Q $$＝$$ C $$$$ V $$$$ Q $$：電荷$$ C $$：電気容量$$ V $$：電圧$$ C $$＝一定$$ C $$
$$ Q $$＝$$ I $$$$ t $$$$ Q $$：電荷$$ I $$：電流$$ t $$：時間$$ I $$＝一定$$ I $$
$$ V $$＝$$ R $$$$ I $$$$ V $$：電圧$$ R $$：電気抵抗$$ I $$：電流$$ R $$＝一定$$ R $$
$$ P $$＝$$ I $$$$ V $$$$ P $$：電力$$ V $$：電圧$$ I $$：電流  
表１： 高校物理ＩＢ範囲の二項乗算の関係式
 量の意味成立条件導入量
運動
 $$ x $$＝$$ v $$$$ t $$変位＝速度×時間$$ v $$＝一定（等　速　直線運動）$$ v $$
$$ v $$＝$$ a $$$$ t $$速度＝加速度×時間$$ a $$＝一定（等加速度直線運動）$$ a $$
$$ F $$＝$$ k $$$$ x $$力＝バネ定数×変位$$ k $$＝一定（弾性バネ比例区間）$$ k $$
$$ F $$＝$$ m $$$$ a $$力＝質量×加速度$$ m $$＝一定 or $$ F $$＝一定 or $$ a $$＝一定　（※１）$$ F $$
$$ F $$＝$$ \mu $$$$ N $$摩擦力＝摩擦係数×垂直抗力$$ \mu $$＝一定（静止摩擦 or 一様摩擦面での動摩擦）$$ \mu $$
$$ N $$＝$$ F $$$$ l $$モーメント＝力×距離 $$ N $$
$$ p $$＝$$ m $$$$ v $$運動量＝質量×速度（暗黙的に$$ m $$＝一定）$$ p $$
$$ I $$＝$$ F $$$$ t $$力積＝力×時間$$ F $$＝一定$$ I $$
$$ W $$＝$$ F $$$$ x $$仕事＝力×変位$$ F $$＝一定$$ W $$
$$ W $$＝$$ P $$$$ t $$仕事＝仕事率×時間$$ P $$＝一定$$ P $$
$$ P $$＝$$ F $$$$ v $$仕事率＝力×速度$$ F $$＝一定$$ W $$
熱 ＝ × 
 $$ C $$＝$$ m $$$$ c $$熱容量＝質量×比熱$$ C $$＝一定$$ C $$
$$ Q $$＝$$ C $$$$ T $$熱量＝熱容量×温度$$ c $$＝一定$$ c $$
$$ Q $$＝$$ m $$$$ L $$熱量＝質量×溶解熱$$ L $$＝一定$$ c $$
$$ F $$＝$$ p $$$$ S $$力＝圧力×面積$$ p $$＝一定$$ p $$
$$ W $$＝$$ p $$$$ V $$仕事＝圧力×体積$$ p $$＝一定 
電磁気 ＝ × 
 $$ F $$＝$$ q $$$$ E $$力＝電荷×電場  
$$ U $$＝$$ q $$$$ V $$エネルギ＝電荷×電位$$ V $$＝一定$$ V $$
$$ V $$＝$$ E $$$$ x $$電位＝電場×変位$$ E $$＝一定　（一様電界） 
$$ Q $$＝$$ C $$$$ V $$電荷＝電気容量×電圧$$ C $$＝一定$$ C $$
$$ Q $$＝$$ I $$$$ t $$電荷＝電流×時間$$ I $$＝一定$$ I $$
$$ V $$＝$$ R $$$$ I $$電圧＝電気抵抗×電流$$ R $$＝一定$$ R $$
$$ P $$＝$$ I $$$$ V $$電力＝電圧×電流  

運動方程式（※１）

運動方程式の導入には、２つの実験と１つの導出、１つの定義、１つの計算を用いている：

  • 実験１：　$$ m $$を一定に保ち、$$ F $$を変化させ、$$ a $$∝$$ F $$を得る。
  • 実験２：　$$ F $$を一定に保ち、$$ m $$を変化させ、$$ a $$∝$$ \ffd1m $$を得る。
  • 導出１：　$$ a $$ ∝ $$ F $$ and $$ a $$∝$$ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $$∝$$ F $$$$ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $$＝$$ k $$$$ F $$$$ \ffd1m $$　（ただし、$$ k $$は比例定数）
  • 定義１：　$$ k $$$$ \equiv $$$$ 1 $$ and $$ a $$$$ = $$$$ k $$$$ F $$$$ \ffd1m $$ ⇒ $$ a $$$$ = $$$$ \ffd{F}{m} $$
  • 計算１：　$$ a $$＝$$ \ffd{F}{m} $$ ⇔ $$ F $$＝$$ m $$$$ a $$

また、運動方程式の習得直後に自由落下で$$ W $$$$ = $$$$ m $$$$ g $$を学ぶ。
ここで、$$ W $$は重力で$$ F $$の一種、$$ g $$は重力加速度で$$ a $$の一種である。
自由落下では$$ g $$を一定と見なすため、$$ a $$＝一定の等加速度運動となる。

実験１、実験２、自由落下では、それぞれ$$ m $$＝一定、$$ F $$＝一定、$$ a $$＝一定が成立条件である。
このため、運動方程式$$ F $$$$ = $$$$ m $$$$ a $$に対し、２つの比例関係と１つの反比例関係の理解が求められる。

外延量・内包量

加法性に関する一定義例


外延量・内包量の定義を「系の合併における加法性の有・無」とすると、
各量について、(1)系の定義、(2)合併の定義、(3)加法性の定義について考える必要がある。
2014年現在の現状としては、厳密な定義は見当たらず、曖昧な定義も統一されてないと見受ける。
以下では、厳密性を抜きにして、妥当と思う定義の例を示す。

まず、系については明確な定義は無いが、暗黙的に「物質の集まり」を想定しているように見える。
物質の集まりを系と定義すると、合併は物質の集まりの合併*2と考えられる。
物質の集合を$$ M_A $$と$$ M_B $$と置くと、合併の結果は和集合$$ M_S $$$$ = $$$$ M_A $$$$ \cup $$$$ M_B $$と定式化できる。

次に、加法性は、物質の集合に付随する量についての性質と考えられる。
物質の集合$$ M $$に付属する何かの属性を表す量を$$ Q(M) $$と表記すると、
加法性は$$ M_S $$$$ = $$$$ M_A $$$$ \cup $$$$ M_B $$に対して$$ Q(M_S) $$$$ = $$$$ Q(M_A) $$$$ + $$$$ Q(M_B) $$となる$$ Q $$の性質と定式化できる。

量が加法性を持つ条件


以上の定義では、加法性は、合併の方法と量の種類に依存する概念と言える。
このため、量だけで加法性の有無を議論するには、合併の方法に依らないことが条件となる。
しかし「合併の方法に依らない」というのは結構厳しい条件であるため、以下の数段階緩めた条件も考えられる。

保存量の加法性
物理量の中には、普遍的な保存則が成立する量がある。
表１の範囲では、質量$$ m $$、運動量$$ p $$、エネルギ$$ U $$、電荷$$ Q $$が該当する。
これらの保存則は、量子力学まで含んだ物理の範疇で成り立つと信じられている。
このため、物理法則に従う限り、合併である限り加法性が保証される。

空間量の加法性
絶対時間と絶対空間の概念を持つ古典力学では、時間と空間で物事を解析的に考える。
表１の範囲では、時間$$ t $$、変位$$ x $$、面積$$ S $$、体積$$ V $$が該当する。
これらは保存量ではないため、合併の方法次第で加法性を持たない場合がある。
しかし、独立変数として扱われる場合、その機能性から加法性が成立つ場合が多い*3。

限定的な加法性【検討中】
*2 ここでの合併は、物質の集まりを物質の集合と見立てたときの和集合であり、時間の概念は問わない。参考：算数教育における加減算の意味分類
*3 独立変数なら常に加法性が成立するかは検討中。

以上を表２に纏める
表２
保存量の加法性質量$$ m $$、運動量$$ p $$、エネルギ$$ U $$（仕事$$ W $$、熱量$$ Q $$）、電荷$$ Q $$のみ
空間量の加法性時間$$ t $$、変位$$ x $$、面積$$ S $$、体積$$ V $$のみ

外延量・内包量による乗算関係の分類


上記、保存量の加法性と空間量の加法性に基づき、表１の二項乗算に対して分類した結果を表３に示す。
表３： 外延量・内包量による乗算関係の分類
 量の意味分類
保存量限り空間量込み
運動
 $$ x $$＝$$ v $$$$ t $$変位＝速度×時間内＝内×内外＝内×外
$$ v $$＝$$ a $$$$ t $$速度＝加速度×時間内＝内×内内＝内×外
$$ F $$＝$$ k $$$$ x $$力＝バネ定数×変位内＝内×内内＝内×外
$$ F $$＝$$ m $$$$ a $$力＝質量×加速度内＝外×内内＝外×内
$$ F $$＝$$ \mu $$$$ N $$摩擦力＝摩擦係数×垂直抗力内＝内×内内＝内×内
$$ N $$＝$$ F $$$$ l $$モーメント＝力×距離内＝内×内内＝内×外
$$ p $$＝$$ m $$$$ v $$運動量＝質量×速度外＝外×内外＝外×内
$$ I $$＝$$ F $$$$ t $$力積＝力×時間外＝内×内外＝内×外
$$ W $$＝$$ F $$$$ x $$仕事＝力×変位外＝内×内外＝内×外
$$ W $$＝$$ P $$$$ t $$仕事＝仕事率×時間外＝内×内外＝内×外
$$ P $$＝$$ F $$$$ v $$仕事率＝力×速度内＝内×内内＝内×内
熱 ＝ × 
 $$ C $$＝$$ m $$$$ c $$熱容量＝質量×比熱内＝外×内内＝外×内
$$ Q $$＝$$ C $$$$ T $$熱量＝熱容量×温度外＝内×内外＝内×内
$$ Q $$＝$$ m $$$$ L $$熱量＝質量×溶解熱外＝外×内外＝外×内
$$ F $$＝$$ p $$$$ S $$力＝圧力×面積内＝内×内内＝内×外
$$ W $$＝$$ p $$$$ V $$仕事＝圧力×体積外＝内×内外＝内×外
電磁気 ＝ × 
 $$ F $$＝$$ q $$$$ E $$力＝電荷×電場内＝外×内内＝外×内
$$ U $$＝$$ q $$$$ V $$エネルギ＝電荷×電位外＝外×内外＝外×内
$$ V $$＝$$ E $$$$ x $$電位＝電場×変位内＝内×外内＝内×外
$$ Q $$＝$$ C $$$$ V $$電荷＝電気容量×電圧外＝内×内外＝内×内
$$ Q $$＝$$ I $$$$ t $$電荷＝電流×時間外＝内×内外＝内×外
$$ V $$＝$$ R $$$$ I $$電圧＝電気抵抗×電流内＝内×内内＝内×内
$$ P $$＝$$ I $$$$ V $$電力＝電圧×電流内＝内×内内＝内×内

【執筆中】

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