三角公式/虚数正弦 のバックアップの現在との差分(No.1) |
虚数正弦虚数正弦公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点の一つである。なぜ「」になるのか。なぜ「」になるのか。公式の導出を追いかけ、「なぜそうなるのか」を考えるのが猫式組立術の原点である。運よく隠された規則があって、それを見出せば、公式を簡単に組み立てることができる。三角公式の場合、オイラーの公式を使えば、とを複素指数で表せる。複素指数の形で三角公式を導出すると、がと一緒に動くのが分かる。そして、を一塊で扱う方が公式が規則的になる。以下はオイラーの公式と三角関数の指数表示:三角公式の場合は「」や「」になるのには理由が必要だが、答えはオイラーの公式を使って次のようにとを複素指数で表すときに現われるに隠されている。
さらに虚数単位を計算して、通常の加法定理を得る: 表面的ではあるが、 版の方では全てに統一しているのに対し、版の方では全てに統一しているのに対し、通常版ではの中にが1つだけ混ざっている。問題は、そこに複素数の計算規則があって、はの計算結果である。さらに、とは一緒に動くため、があるところは必ずがあり、「」が付く。よって、次の法則が成り立つ:ポイントははの計算結果である。とが必ず一緒に動くため、の前には必ずがあって、これが「」に化ける。このため、次の法則が成立する:
次に、通常の三角公式は全て実数である。複素数の式が実数の式になるには、「全ての項が純虚数」または「全ての項が実数」を満たす必要がある。 純虚数の項ではの数は奇数、実数の項ではの数は偶数になる。これに加え、とは一緒に動くため、に対して言えることは、の数に対しても同じことが言えて、次の法則が成り立つ:純虚数の項ではの数は奇数、実数の項ではの数は偶数になる。これもとが必ず一緒に動くため、に対して言えることは、の数に対しても言えて、次の法則が成立する:
実弦・虚弦名前の問題。 従来の余弦や正弦と区別のため、猫式ではを実弦、を虚弦と呼ぶ。従来の余弦や正弦と区別のため、猫式ではを実数余弦、略して実弦、を虚数正弦、略して虚弦と呼ぶ。本質の問題。図1に示すように、余弦と正弦は、二次元平面上で考えようが、複素数平面上で考えようが、実数値の座標値に過ぎない。一方、 図2に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値である。図2に示すように、猫式の実弦と虚弦は座標値ではなく、複素数値そのものである。複素数のことは全て複素数で考えるのが猫式の流派である。を使った時点でそれが虚数である。
図1: と|* |