四面体の３隣辺が張る平行六面体の体積への読み替え EditToHeaderToFooter

辺長が$$ 1 $$の立方体の１頂点を原点Ｏに選び、隣り合う３点をＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶと、
四面体ＯＡＢＣの体積は$$ \ffd16 $$と算出できる。

立方体をＯＡ方向、ＯＢ方向、ＯＣ方向にそれぞれ$$ a $$倍、$$ b $$倍、$$ c $$倍すると、
体積が共に$$ abc $$倍された長方形と（歪んだ）四面体が得られるが、
四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
ただし、幾何的必要性から、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$は共に$$ 0 $$以上の実数とする。

同様に、∠ＡＯＢ、∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡの角度をぞれぞれ$$ \alpha $$倍、$$ \beta $$倍、$$ \gamma $$倍すると、
形は歪み、体積も変わるが、四面体の体積は直方体の$$ \ffd16 $$のままである。
ただし、幾何的必要性から、$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$は共に$$ 0 $$以上かつ$$ 1 $$以下の実数とする。

以上の変形により、$$ a $$、$$ b $$、$$ c $$と$$ \alpha $$、$$ \beta $$、$$ \gamma $$の計６つの自由度を作り出している。
これは、四面体の６つの辺を幾何的制約の元で自由に選べる自由度と一致する。
このため、以上６つのパラメータで任意の四面体を作ることが可能であり、
以下の議論は一般性を失わないことと言える*1。

従って、四面体ＯＡＢＣの体積$$ v $$を求めるには、
平行六面体の体積$$ V $$を求めてから、$$ \ffd16 V $$と割れば良い。

*1 厳密には、幾何的制約まで評価する必要があるが、後回しにする

平行六面体の体積 EditToHeaderToFooter

原点Ｏとする３次元空間上の３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれ$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$とする。
点ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡへのベクトルをそれぞれ$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$とする。
四辺形の全ての辺長が分かることは、各ベクトルの大きさを全て既知であることを意味する。
便宜上、$$ a $$$$ = $$$$ |\:a| $$、$$ b $$$$ = $$$$ |\:b| $$、$$ c $$$$ = $$$$ |\:c| $$、$$ d $$$$ = $$$$ |\:d| $$、$$ e $$$$ = $$$$ |\:e| $$、$$ f $$$$ = $$$$ |\:f| $$とする。

すると、三角形ＡＯＢ、ＢＯＣ、ＣＯＡのそれぞれで点Ｏを頂点とする余弦定理を考えると、
$$ \:d $$、$$ \:e $$、$$ \:f $$の大きさを$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積に交換できる。

　　$$ \:a $$$$ \sx $$$$ \:b $$$$ = $$$$ \ffd12 $$$$ ( $$$$ a^2 $$$$ + $$$$ b^2 $$$$ + $$$$ d^2 $$$$ ) $$

　　$$ \:b $$$$ \sx $$$$ \:c $$$$ = $$$$ \ffd12 $$$$ ( $$$$ b^2 $$$$ + $$$$ c^2 $$$$ + $$$$ e^2 $$$$ ) $$

　　$$ \:c $$$$ \sx $$$$ \:a $$$$ = $$$$ \ffd12 $$$$ ( $$$$ c^2 $$$$ + $$$$ a^2 $$$$ + $$$$ f^2 $$$$ ) $$

平行六面体の３辺$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積が分かれば、体積は行列で求まる。
ベクトル$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$を３列とする行列$$ \:S $$を考えると、平行六面体の体積は$$ \:S $$の行列式$$ |\:S| $$となる。
その自乗$$ |\:S|^2 $$は、$$ \:a $$、$$ \:b $$、$$ \:c $$間の内積を介して各辺の大きさに展開できる：

$$ V^2 $$$$ = $$$$ |\:S|^2 $$$$ = $$$$ |\:S^{\textrm{T}}\:S| $$

　$$ = $$$$ \left| \left[\begin{array}{ccc} &\:a& \\ &\:b& \\ &\:c& \end{array} \right] \!\!\! \left[\begin{array}{ccc} \;&\;&\; \\ \:a & \:b & \:c \\ \;&\;&\; \end{array} \right] \right| $$

　$$ = $$$$ \left| \left[\begin{array}{ccc} \:a\sx\:a & \:a\sx\:b & \:a\sx\:c \\ \:b\sx\:a & \:b\sx\:b & \:b\sx\:c \\ \:c\sx\:a & \:c\sx\:b & \:c\sx\:c \end{array} \right] \right| $$

　$$ $$
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