四面体の辺長による体積計算

四面体の３隣辺が張る平行六面体の体積への読み替え

辺長が $$ 1 $$ の立方体の１頂点を原点Ｏに選び、隣り合う３点をＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶと、
四面体ＯＡＢＣの体積は $\ffd16$ と算出できる。

立方体をＯＡ方向、ＯＢ方向、ＯＣ方向にそれぞれ $$ a $$ 倍、 $$ b $$ 倍、 $$ c $$ 倍すると、
体積が共に $$ abc $$ 倍された長方形と（歪んだ）四面体が得られるが、
四面体の体積は直方体の $\ffd16$ のままである。
ただし、幾何的必要性から、 $$ a $$ 、 $$ b $$ 、 $$ c $$ は共に $$ 0 $$ 以上の実数とする。

同様に、∠ＡＯＢ、∠ＢＯＣ、∠ＣＯＡの角度をぞれぞれ $\alpha$ 倍、 $\beta$ 倍、 $\gamma$ 倍すると、
形は歪み、体積も変わるが、四面体の体積は直方体の $\ffd16$ のままである。
ただし、幾何的必要性から、 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ は共に $$ 0 $$ 以上かつ $$ 1 $$ 以下の実数とする。

以上の変形により、 $$ a $$ 、 $$ b $$ 、 $$ c $$ と $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ の計６つの自由度を作り出している。
これは、四面体の６つの辺を幾何的制約の元で自由に選べる自由度と一致する。
このため、以上６つのパラメータで任意の四面体を作ることが可能であり、
以下の議論は一般性を失わないことと言える*1。

従って、四面体ＯＡＢＣの体積 $$ v $$ を求めるには、
平行六面体の体積 $$ V $$ を求めてから、 $\ffd16 V$ と割れば良い。

*1 厳密には、幾何的制約まで評価する必要があるが、後回しにする

平行六面体の体積

原点Ｏとする３次元空間上の３点Ａ、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをそれぞれ $\:a$ 、 $\:b$ 、 $\:c$ とする。
点ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡへのベクトルをそれぞれ $\:d$ 、 $\:e$ 、 $\:f$ とする。
四辺形の全ての辺長が分かることは、各ベクトルの大きさを全て既知であることを意味する。

すると、三角形ＡＯＢ、ＢＯＣ、ＣＯＡのそれぞれで点Ｏを頂点とする余弦定理を考えると、
$\:d$ 、 $\:e$ 、 $\:f$ の大きさを $\:a$ 、 $\:b$ 、 $\:c$ 間の内積に交換できる。

　　 $\:a$ $\sx$ $\:b$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $|\:a|^2$ $$ + $$ $|\:b|^2$ $$ - $$ $|\:d|^2$ $$ ) $$

　　 $\:b$ $\sx$ $\:c$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $|\:b|^2$ $$ + $$ $|\:c|^2$ $$ - $$ $|\:e|^2$ $$ ) $$

　　 $\:c$ $\sx$ $\:a$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $|\:c|^2$ $$ + $$ $|\:a|^2$ $$ - $$ $|\:f|^2$ $$ ) $$

簡潔のため、 $$ a $$ $$ = $$ $|\:a|^2$ 、 $$ b $$ $$ = $$ $|\:b|^2$ 、 $$ c $$ $$ = $$ $|\:c|^2$ 、 $$ d $$ $$ = $$ $$ - $$ $|\:d|^2$ 、 $$ e $$ $$ = $$ $$ - $$ $|\:e|^2$ 、 $$ f $$ $$ = $$ $$ - $$ $|\:f|^2$ とする。

　　 $\:a$ $\sx$ $\:b$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ d $$ $$ ) $$

　　 $\:b$ $\sx$ $\:c$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ e $$ $$ ) $$

　　 $\:c$ $\sx$ $\:a$ $$ = $$ $\ffd12$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ f $$ $$ ) $$

平行六面体の３辺 $\:a$ 、 $\:b$ 、 $\:c$ 間の内積が分かれば、体積は行列で求まる。
ベクトル $\:a$ 、 $\:b$ 、 $\:c$ を３列とする行列 $\:S$ を考えると、平行六面体の体積は $\:S$ の行列式 $|\:S|$ となる。
その自乗 $|\:S|^2$ は、 $\:a$ 、 $\:b$ 、 $\:c$ 間の内積の式になる。

$$ V^2 $$

$$ = $$

$|\:S|^2$ $$ = $$ $|\:S^{\textrm{T}}\:S|$

$$ = $$

$\left| \left[ \begin{array}{ccc} \; & \:a & \; \\ \; & \:b & \; \\ \; & \:c & \; \end{array} \right] \!\!\! \left[ \begin{array}{ccc} \; & \; & \; \\ \:a & \:b & \:c \\ \; & \; & \; \end{array} \right] \right|$

$$ = $$

$\left| \begin{array}{ccc} \:a\sx\:a & \:a\sx\:b & \:a\sx\:c \\ \:b\sx\:a & \:b\sx\:b & \:b\sx\:c \\ \:c\sx\:a & \:c\sx\:b & \:c\sx\:c \end{array} \right|$

行列計算

		$\left\| \begin{array}{ccc} a & \ffd12 ( a + b - d ) & \ffd12 ( c + a - f ) \\ \ffd12 ( a + b - d ) & b & \ffd12 ( b + c - e ) \\ \ffd12 ( c + a - f ) & \ffd12 ( b + c - e ) & c \end{array} \right\|$
		$\ffd1{2^3} \left\| \begin{array}{ccc} 2a & a - b + d & c + a - f \\ a + b - d & 2b & b + c - e \\ c + a - f & b - c + e & 2c \end{array} \right\|$

$$ 2^3 $$ $$ V^2 $$
$$ $$
$$ $$
$$ $$
$$ $$
$$ $$

$$ = $$ $$ ( $$ $$ 2a $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ 2b $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ 2c $$ $$ ) $$
$$ + $$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ - $$ $$ d $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ - $$ $$ e $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ - $$ $$ f $$ $$ ) $$
$$ + $$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ - $$ $$ f $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ - $$ $$ d $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ - $$ $$ e $$ $$ ) $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2a $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ - $$ $$ e $$ $$ )^2 $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2b $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ - $$ $$ f $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2c $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ - $$ $$ d $$

$$ = $$ $$ 8abc $$
$$ + $$ $$ abc + aba - abf + acc + aca - acf - aec - aea + aef $$
$$ + $$ $$ bbc + bba - bbf + bcc + bca - bcf - bec - bea + bef $$
$$ - $$ $$ dbc - dba + dbf - dcc - dca + dcf + dec + dea - def $$

$$ + $$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ - $$ $$ f $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ - $$ $$ d $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ - $$ $$ e $$ $$ ) $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2a $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ b $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ - $$ $$ e $$ $$ )^2 $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2b $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ c $$ $$ + $$ $$ a $$ $$ - $$ $$ f $$
$$ - $$ $$ ( $$ $$ 2c $$ $$ ) $$ $$ ( $$ $$ a $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ - $$ $$ d $$

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