正接tanのn倍角公式 のバックアップ差分(No.3)

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  • 1 (2019.0121 (月) 0233.3900)
  • 2 (2019.0121 (月) 0721.1800)
  • 3 (2019.0121 (月) 0848.1300)

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* 複素数の偏角の正接 [#d96b0980]
;,一般に、複素数$$ \:i y + x $$に関して、その偏角$$ \alpha $$の正接は実部に対する虚部の比で表せる。
#ceq(e)
   $$ \tan $ \alpha $ = $ \tan $ \arg $ ( $ \:i $ y  $ + $ x $ ) $ = $ \tan $ ( $ y $ / $ x $ ) $$
   $$ \tan $ \alpha $$
   $$ = $ \tan $ \arg $ ( $ \:i $ y  $ + $ x $ ) $$
   $$ = $ \tan $ ( $ y $ / $ x $ ) $$
#ceq(d)

;,$$ \:z $ = $ \:i $ t $ + $ 1 $$、$$ \arg $ \:z $ = $ \theta $$と置くと、$$ \tan $ \theta $ = $ t $$の関係になる。
;,以下、この関係を利用して正接の$$ n $$倍角関数$$ \tan $ (n\theta) $$を導く。


* 正接の2倍角公式 [#x6d133c3]
;,$$ \arg $ z^2 $ = $ 2\theta $$であるため、
;,$$ \:z^2 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $ = $ (\:it)^2 $ + $ 2 $ (\:it) $ + $ 1 $ = $ \:i $ ( $ 2t $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ t^2 $ ) $$から
;,$$ \:z^2 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
  $$ = $ (\:it)^2 $ + $ 2 $ (\:it) $ + $ 1 $$
  $$ = $ \:i $ ( $ 2t $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ t^2 $ ) $$から
;,$$ \tan $ (2\theta) $ = $ \ffd{2t}{1-t^2} $ = $ \ffd{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} $$が導ける。

* 正接の3倍角公式 [#l78087d7]
;,同様に、$$ \arg $ z^3 $ = $ 3\theta $$であるため、
;,$$ \:z^3 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^3 $ = $ (\:it)^3 $ + $ 3 $ (\:it)^2 $ + $ 3 $ (\:it) $ + $ 1 $ = $ \:i $ ( $ 3t - t^3 $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ 3t^2 $ ) $$になるため、
;,$$ \:z^3 $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^3 $$
  $$ = $ (\:it)^3 $ + $ 3 $ (\:it)^2 $ + $ 3 $ (\:it) $ + $ 1 $$
  $$ = $ \:i $ ( $ 3t - t^3 $ ) $ + $ ( $ 1 $ - $ 3t^2 $ ) $$になるため、
;,$$ \tan $ (3\theta) $ = $ \ffd{3t - t^3}{1-3t^2} $ = $ \ffd{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} $$が導ける。

* 正接の$$ n $$倍角公式 [#o47a73bf]
;,一般に、$$ \arg $ z^n $ = $ n\theta $$であるため、
;,    $$ \:z^n $ = $ ( $ \:it + 1 $ )^2 $$
      $$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ {}_n C_{k} $ (\:it)^k $ \cancelto{\scriptstyle1}{(1)^{n-k}}\;\;\;\; $$
      $$ = $ \sum_{0 \le k \le n} $ \:i^k $ {}_n C_{k} $ t^k $$
;,　　$$ = $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $ \cancelto{\scriptstyle   1}{\:i^0} {}_n C_{k} $ t^k $$ 
      $$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $ \cancelto{\scriptstyle \:i}{\:i^1} {}_n C_{k} $ t^k $$ 
      $$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $ \cancelto{\scriptstyle-  1}{\:i^2} {}_n C_{k} $ t^k $$ 
      $$ + $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $ \cancelto{\scriptstyle-\:i}{\:i^3} {}_n C_{k} $ t^k $$ 
;,　　$$ = $ \:i $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $ {}_n C_{k} $ t^k $ - $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $ {}_n C_{k} $ t^k $ \Big) $$
;,　　$$ + $ \;\; $ \Big( $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $ {}_n C_{k} $ t^k $ - $ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $ {}_n C_{k} $ t^k $ \Big) $$
;,　　$$ = $ \quad\; $ \ffd{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} {}_n C_{k} \; t^k - \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} {}_n C_{k} \; t^k }{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} {}_n C_{k} \; t^k - \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} {}_n C_{k} \; t^k } $$