複素数の偏角の正接 EditToHeaderToFooter

一般に、複素数$$ \:z $$$$ = $$$$ \:i y + x $$に関して、その偏角$$ \theta $$の正接は虚部と実部の比で表せる。

$$ \tan $$$$ \theta $$$$ = $$$$ \tan $$$$ \arg $$$$ \:z $$$$ = $$$$ \ffd{\operatorname{Im}\:z}{\operatorname{Re}\:z} $$$$ = $$$$ \ffd{y}{x} $$

また、複素数積が偏角の和になるため、自乗の偏角が偏角の倍数になる。

$$ n\theta $$$$ = $$$$ n $$$$ \arg $$$$ \:z $$$$ = $$$$ \arg $$$$ \:z^n $$

そこで、$$ t $$$$ = $$$$ \ffd{y}{x} $$、$$ \:w $$$$ = $$$$ \ffd{\:z}{x} $$$$ = $$$$ \:i $$$$ t $$$$ + $$$$ 1 $$と置けば、
$$ \tan $$$$ \theta $$$$ = $$$$ \tan $$$$ \arg $$$$ \:z $$$$ = $$$$ \tan \arg $$$$ \:w $$$$ = $$$$ t $$。
$$ \tan $$$$ (n\theta) $$$$ = $$$$ \tan $$$$ \arg $$$$ \:w^n $$$$ = $$$$ \tan $$$$ \arg $$$$ (\:i t + 1)^n $$。

以下、この関係を利用し、$$ \tan $$$$ (n\theta) $$を二項展開として導く。

正接の2倍角公式 EditToHeaderToFooter

$$ \arg $$$$ w^2 $$$$ = $$$$ 2\theta $$であるため、
$$ \:w^2 $$$$ = $$$$ ( $$$$ \:it + 1 $$$$ )^2 $$$$ = $$$$ (\:it)^2 $$$$ + $$$$ 2 $$$$ (\:it) $$$$ + $$$$ 1 $$$$ = $$$$ \:i $$$$ ( $$$$ 2t $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ 1 $$$$ - $$$$ t^2 $$$$ ) $$から
$$ \tan $$$$ (2\theta) $$$$ = $$$$ \ffd{2t}{1-t^2} $$$$ = $$$$ \ffd{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} $$が導ける。

正接の3倍角公式 EditToHeaderToFooter

同様に、$$ \arg $$$$ w^3 $$$$ = $$$$ 3\theta $$であるため、
$$ \:w^3 $$$$ = $$$$ ( $$$$ \:it + 1 $$$$ )^3 $$$$ = $$$$ (\:it)^3 $$$$ + $$$$ 3 $$$$ (\:it)^2 $$$$ + $$$$ 3 $$$$ (\:it) $$$$ + $$$$ 1 $$$$ = $$$$ \:i $$$$ ( $$$$ 3t - t^3 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ 1 $$$$ - $$$$ 3t^2 $$$$ ) $$になるため、
$$ \tan $$$$ (3\theta) $$$$ = $$$$ \ffd{3t - t^3}{1-3t^2} $$$$ = $$$$ \ffd{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} $$が導ける。

正接の$$ n $$倍角公式 EditToHeaderToFooter

一般に、$$ \arg $$$$ w^n $$$$ = $$$$ n\theta $$であるため、
$$ \:w^n $$$$ = $$$$ ( $$$$ \:it + 1 $$$$ )^2 $$$$ = $$$$ \sum_{0 \le k \le n} $$$$ {}_n C_{k} $$$$ (\:it)^k $$$$ \cancelto{\scriptstyle1}{(1)^{n-k}}\;\;\;\; $$$$ = $$$$ \sum_{0 \le k \le n} $$$$ \:i^k $$$$ {}_n C_{k} $$$$ t^k $$
　　$$ = $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $$$$ \cancelto{\scriptstyle 1}{\:i^0} {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ + $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $$$$ \cancelto{\scriptstyle \:i}{\:i^1} {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ + $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $$$$ \cancelto{\scriptstyle- 1}{\:i^2} {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ + $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $$$$ \cancelto{\scriptstyle-\:i}{\:i^3} {}_n C_{k} $$$$ t^k $$
　　$$ = $$$$ \:i $$$$ \Big( $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} $$$$ {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ - $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} $$$$ {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ \Big) $$
　　$$ + $$$$ \;\; $$$$ \Big( $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} $$$$ {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ - $$$$ \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} $$$$ {}_n C_{k} $$$$ t^k $$$$ \Big) $$
　　$$ = $$$$ \quad\; $$$$ \ffd{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 1} {}_n C_{k} \; t^k - \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 3} {}_n C_{k} \; t^k }{\sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 0} {}_n C_{k} \; t^k - \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 4 = 2} {}_n C_{k} \; t^k } $$
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