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/積分定数
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* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]
* 凌宮表記術：$$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]
$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。
「関数でない＝関係がない」として書くまでもないと思ってはいけない。
「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。
しかし、残念なことに「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法も無い。
;,$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''場合に何も書けないのが世の不思議。
;,「関係がない」だからって「書くまでもない」と思ってはいけない。
;,「関数でない＝定数である」も立派な関係である。
猫式では、定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記。
;,そこで、凌宮数学では「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
;,$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
否定の意味で使われるオーバーラインを付けた表記となっている。
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* 積分定数 [#uad9547c]
* 応用：積分定数 [#uad9547c]
積分定数は名前通りに定数である。
不定積分を計算する際に必ず現れる。
定数表記を使うと、とりあえず~
;,積分定数は名前通り、定数である。
;,不定積分の計算では必ず現れ、「ただし」と書くお約束である。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$ （ただし、$$ C $$ は積分定数）
$$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C $$ （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)
が
;,凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$
$$ \int f(x) \,dx $ = $ F(x) $ + $ C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
と書ける。
これは元々困ってないので、但し書きが記号になった程度のご利益しかない。
;,ここで、積分と微分の関係から、$$ C \overline{(x)} $$は$$ \ddd{C}{x} $ = $ 0 $$を意味すると理解しても良い。
元から困るのは多変数関数積分である。
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* 本題：多変数関数の積分定数 [#q74ff171]
;,問題は多変数関数の場合。
#ceq(e)
$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
$$ C $$は積分''定数''だったのに、
「$$ g(y) $$は任意''関数''」、「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」と書かされる挙句、
「１変数のときと同じ」と教わる。
全く、何が「同じ」のだか。
;,理系の大学生はこれを見せられる上、
「$$ g(y) $$は任意''関数''」や「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」のような但し書きを教わる。
;,そして「１変数のときと同じよね」と言われる。
次の表から、１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかが分かる。
$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることで、
$$ y $$の関数かどうかではない
(($$ y $$の定数を$$ y $$の関数の特殊例と見なす場合もあるが、どーでもいいことには変わりない。))。
;,この謎の''関数''$$ g(y) $$ が積分''定数''$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
;,これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無茶な話。
#ceq(e)
|CENTER: |CENTER: |CENTER: |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|* &br; |◎ |× |
|^ |^ |^ |
#ceq(q)
|CENTER: |CENTER: |CENTER: |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|*$$y$$の定数|◎ |× |
|*$$y$$の関数|◎ |× |
#ceq(e)
表１：１変数関数積分の定数関係
#ceq(q)
表２：２変数関数積分の定数関係
#ceq(end)
;,１変数関数と多変数関数で、一体何が同じで、何が異なるのかは、こんな表で考えれば良い：
%bodynote
|*l:表１：$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$の$$C$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$C$$は$$x$$の定数|*$$C$$は$$x$$の関数|
|* |◎ |× |
|*tx: |^ |^ |
これに対し、定数表記を用いれば次のよう書ける。
|*l:表２：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$の$$g$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の定数|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の関数|
|*$$g$$は$$y$$の定数 |◎ |× |
|*$$g$$は$$y$$の関数 |◎ |× |
;,つまり、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
((厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、そもそも「''定数である''」と「''定数でない''」で議論すべき。))
;,この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる：
#ceq(e)
１変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる以外、少なくとも見た目は同じである。
被積分関数$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わっていることを除けば、少なくとも見た目は同じである。
さらに次のように書けば、より精練された記述になる：
さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる：
#ceq(e)
$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ式のあるべき姿。
これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。
%bodynote
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