積分定数のバックアップソース(No.3)

/積分定数
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* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]

$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。
「関数でない＝関係がない」なので書くまでもないなどと思ってはいけない。
そこに「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。
残念なことに、「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法すら無い。

これに対し、猫式では定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記。
$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
否定の意味で使われるオーバーライン（上線）を付けて否定した意味合いの表記法である。
また、オーバーラインが不便な環境では$$ C(\overline{\phantom|}x) $$、ASCII文字で ##C(~x)## を許容とする。

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* 積分定数 [#uad9547c]

積分定数は名前通りに定数である。
不定積分を計算する際に必ず現れ、次のように但し書きをするのがお約束。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$     （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)
定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
これに関しては、元々困ってないので、但し書きが記号になって記述量が減る程度のご利益しかない。

では、元から困る例を一つ：多変数関数積分。
#ceq(e)
    $$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
これを見せられて、「$$ g(y) $$は任意''関数''」、「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」と書かせられる挙句、「１変数のときと同じ」と教わる。
この謎の''関数''が積分''定数''の$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐっても良いが、どこがどう同じなのかは分からない人には分からない。
少なくとも見た目は全然違うように見える。

１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかは次の表を書けば分かる。
#ceq(e)
    |CENTER:     |CENTER:     |CENTER:     |c
    |*           |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
    |*　&br;　   |◎          |×          |
    |^           |^           |^           |
#ceq(q)
    |CENTER:     |CENTER:     |CENTER:     |c
    |*           |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
    |*$$y$$の定数|◎          |×          |
    |*$$y$$の関数|◎          |×          |
#ceq(e)
    表１：１変数関数積分の定数関係
#ceq(q)
    表２：２変数関数積分の定数関係
#ceq(end)
$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
(($$ y $$の定数も$$ y $$の関数の特殊例と見なす場合もあるが、なおさら何でも$$ y $$の関数であると言えて、どーでも良い度が増すだけ。))。

%bodynote

これに対し、定数表記を用いれば次のよう書ける。
#ceq(e)
    １変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
    ２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
被積分関数が$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる他、少なくとも見た目は同じである。

さらに次のように書けば、より洗練された記述になる：
#ceq(e)
    $$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ式のあるべき姿。

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積分定数 のバックアップソース(No.3)

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