積分定数のバックアップ(No.4)

はの定数： $C \overline{(x)}$

$$ f $$ が $$ x $$ の関数のとき $$ f(x) $$ と書くが、 $$ f $$ が $$ x $$ の関数でないときは何も書けないのが世の不思議。「関数でない＝関係がない」なので書くまでもないなどと思ってはいけない。そこに「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。残念なことに、「 $$ C $$ は $$ x $$ の定数である」の表記法すら無い。

これに対し、猫式では定数表記として「 $$ C $$ は $$ x $$ の定数」を「 $C \overline{(x)}$ 」と表記。 $$ F $$ が $$ x $$ の関数であることを表す $$ F(x) $$ に、否定の意味で使われるオーバーライン（上線）を付けて否定した意味合いの表記法である。また、オーバーラインが不便な環境では $C(\overline{\phantom|}x)$ 、ASCII文字で C(~x) を許容とする。

積分定数

積分定数は名前通りに定数である。不定積分を計算する際に必ず現れ、次のように但し書きをするのがお約束。

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$ （ただし、 $$ C $$ は積分定数）

定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。

$\int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)}$

これに関しては、元々困ってないので、但し書きが記号になって記述量が減る程度のご利益しかない。

では、元から困る例を一つ：多変数関数積分。

$\int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y)$

これを見せられて、「 $$ g(y) $$ は任意関数」、「は $$ y $$ だけの関数」と書かせられる挙句、「１変数のときと同じ」と教わる。この謎の関数が積分定数の $$ C $$ に対応するのは位置で勘ぐっても良いが、どこがどう同じなのかは分からない人には分からない。少なくとも見た目は全然違うように見える。

１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかは次の表を書けば分かる。