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/積分定数
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* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]
$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''ときは何も書けないのが世の不思議。
「関数でない＝関係がない」なので書くまでもないなどと思ってはいけない。
そこに「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。
残念なことに、「$$ C $$は$$ x $$の定数である」の表記法すら無い。
;,$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
$$ f $$が$$ x $$の関数''でない''場合に何も書けないのが世の不思議。
;,勿論「関係がない」から「書くまでもない」と思ってはいけない。
;,そこには「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。
これに対し、猫式では定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記。
$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
否定の意味で使われるオーバーライン（上線）を付けて否定した意味合いの表記法である。
また、オーバーラインが不便な環境では$$ C(\overline{\phantom|}x) $$、ASCII文字で ##C(~x)## を許容とする。
;,そこで、猫式では定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
;,$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
否定の意味で使われるオーバーライン（上線）を付けた表記法である。
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* 積分定数 [#uad9547c]
積分定数は名前通りに定数である。
不定積分を計算する際に必ず現れ、次のように但し書きをするのがお約束。
;,積分定数は名前通りに定数である。
;,不定積分の計算では必ず現れ、但し書きするのがお約束である。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$ （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)
定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
;,凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
これに関しては、元々困ってないので、但し書きが記号になって記述量が減る程度のご利益しかない。
;,これに関しては、元々困ってないので、但し書きが記号になって記述量が減る程度のご利益しかない。
では、元から困る例を一つ：多変数関数積分。
;,では、困る例：多変数関数積分。
#ceq(e)
$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
これを見せられて、「$$ g(y) $$は任意''関数''」、「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」と書かせられる挙句、「１変数のときと同じ」と教わる。
この謎の''関数''が積分''定数''の$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐっても良いが、どこがどう同じなのかは分からない人には分からない。
少なくとも見た目は全然違うように見える。
;,理系の大学生はこれを見せられる上、
「$$ g(y) $$は任意''関数''」や「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」のような但し書きを教わる。
;,終いには「１変数のときと同じよね」のようなことを言われる。
１変数関数と多変数関数で何が同じで、何が異なるのかは次の表を書けば分かる。
#ceq(e)
| |c: |c] |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|*$$\phantom{y}$$|◎ |× |
|*$$\phantom{y}$$|^ |^ |tx:
#ceq(q)
|c: |c: |c: |c
|* |*$$x$$の定数|*$$x$$の関数|
|*$$y$$の定数|◎ |× |
|*$$y$$の関数|◎ |× |tx:
#ceq(e)
表１：１変数関数積分の定数関係
#ceq(q)
表２：２変数関数積分の定数関係
#ceq(end)
$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
(($$ y $$の定数も$$ y $$の関数の特殊例と見なす場合もあるが、なおさら何でも$$ y $$の関数であると言えて、どーでも良い度が増すだけ。))。
;,この謎の''関数''$$ g(y) $$ が積分''定数''$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
;,これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無理かと。
;,少なくとも私には見た目が全く違うように見える。
%bodynote
;,１変数関数と多変数関数では、一体、何が同じで、何が異なるのか。
;,それは表に並ぶと分かりやすい：
これに対し、定数表記を用いれば次のよう書ける。
|*表１：$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$の$$C$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$C$$は$$x$$の定数|*$$C$$は$$x$$の関数|
|* |◎ |× |
|*tx: |^ |^ |
|*表２：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$の$$g$$と変数の関係|<|<|h
|c: |c: |c: |c
|*## ##|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の定数|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の関数|
|*$$g$$は$$y$$の定数 |◎ |× |
|*$$g$$は$$y$$の関数 |◎ |× |
;,要は、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
((厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、「''定数である''」と「''定数でない''」で議論すべき。))
;,この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる：
#ceq(e)
１変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
被積分関数が$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる他、少なくとも見た目は同じである。
さらに次のように書けば、より洗練された記述になる：
さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる：
#ceq(e)
$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ式のあるべき姿。
これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。
%bodynote
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