積分定数のバックアップソース(No.5)

/積分定数
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ C $$は$$ x $$の定数：$$ C \overline{(x)} $$ [#qd94aff1]

;,$$ f $$が$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、
  $$ f $$が$$ x $$の関数''でない''場合に何も書けないのが世の不思議。
;,勿論「関係がない」から「書くまでもない」と思ってはいけない。
;,そこには「関数でない＝定数である」という立派な関係が成り立つ。

;,そこで、猫式では定数表記として「$$ C $$は$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
;,$$ F $$が$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、
  否定の意味で使われるオーバーライン（上線）を付けた表記法である。

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 積分定数 [#uad9547c]

;,積分定数は名前通りに定数である。
;,不定積分の計算では必ず現れ、但し書きするのがお約束である。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$     （ただし、$$ C $$ は積分定数）
#ceq(end)

;,凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。
#ceq(e)
    $$ \int f(x) \,dx = F(x) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
;,これに関しては、元々困ってないので、但し書きが記号になって記述量が減る程度のご利益しかない。

;,では、困る例：多変数関数積分。
#ceq(e)
    $$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$
#ceq(end)
;,理系の大学生はこれを見せられる上、
  「$$ g(y) $$は任意''関数''」や「$$ g(y) $$は$$ y $$だけの''関数''」のような但し書きを教わる。
;,終いには「１変数のときと同じよね」のようなことを言われる。

;,この謎の''関数''$$ g(y) $$ が積分''定数''$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
;,これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無理かと。
;,少なくとも私には見た目が全く違うように見える。

;,１変数関数と多変数関数では、一体、何が同じで、何が異なるのか。
;,それは表に並ぶと分かりやすい：

    |*表１：$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$の$$C$$と変数の関係|<|<|h
    |c:                     |c:                 |c:                 |c
    |*##                  ##|*$$C$$は$$x$$の定数|*$$C$$は$$x$$の関数|
    |*　                    |◎                 |×                 |
    |*tx:                   |^                  |^                  |

    |*表２：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$の$$g$$と変数の関係|<|<|h
    |c:                     |c:                          |c:                          |c
    |*##                  ##|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の定数|*$$\spc{C}{g}$$は$$x$$の関数|
    |*$$g$$は$$y$$の定数    |◎                          |×                          |
    |*$$g$$は$$y$$の関数    |◎                          |×                          |

;,要は、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない
((厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、「''定数である''」と「''定数でない''」で議論すべき。))
;,この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる：
#ceq(e)
    １変数：$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$
#ceq(e)
    ２変数：$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$
#ceq(end)
被積分関数が$$ f $$が１変数の$$ f(x) $$から２変数の$$ f(x,y) $$に変わってる他、少なくとも見た目は同じである。

さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる：
#ceq(e)
    $$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。
#ceq(end)
これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。

%bodynote


////////////////////////////////////////////////////////////////
積分定数 のバックアップソース(No.5)

積分定数のバックアップソース(No.5)
