宣言型総和 のバックアップの現在との差分(No.1)

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  • 1 (2019.0121 (月) 0150.2000)

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* 凌宮表記述： $$ \sum_{i=0}^{n} c_i $$： $$ \sum_{0 \le i \le n} c_i $$ [#r4fbcb15]
* 凌宮表記述： $$ \sum_{i=0}^{n} c_i $$： $$ \sum_{0 \le i \le n} c_i $$ [#m70f2c2a]

;,総和記号は、1飛びで変わる数列の総和を取るのに便利である。
;,しかし、2つ飛びになる途端に複雑な書き方になる。

;,例えば、正弦関数の$$ n $$倍角の公式はこのようになる((『三角関数のｎ倍角の公式について』 http://www.igaris.com/math/n-tuple_identities.pdf))：

$$$ 
   \sin n\theta =
   \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor}
   (-1)^k
   {}_n C_{2k+1}
   (\cos\theta)^{n-(2k+1)}
   (\sin\theta)^{2k+1}   
$$$
;,要は、$$ \sum_{k=0}^n $ {}_n C^{k} $ cos^{n-l}\theta $ \:i $ \sin^k\theta $$の虚数部として$$ k $$が奇数な項の総和である。

;,$$ k $$が奇数のとき、$$ \:i^k $$が$$ \pm\:i $$になり虚数部に加算されるために、飛び飛びで総和したい。
;,式の中に現れる$$ 2k+1 $$は奇数を表すための表現で本質ではない。
;,総和の終端である$$ \left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor $$に至っては完全にその帳尻合わせである。

;,凌宮数学では、これを以下のように書く。
$$$ 
   \sin n\theta =
   \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 2 = 1}
   (-1)^k
   {}_n C_{k}
   \cos^{n-k}\theta
   \sin^{k}\theta
$$$
;,総和記号の上下に添え字の束縛条件を宣言し、条件に適合する添え字に関して総和を取る。
;,この表記を宣言型総和、添字の生成手続きを一般項に書く従来表記を手続型総和と呼ぶ。

;,なお、$$ \% $$は除余を表し、$$ k $ \% $ 2 $ = $ 1 $$を$$ k $ \bmod $ 2 $ = $ 1 $$や$$ k $ \equiv $ 1 $ \pmod 2 $$と書いても同じ。