宣言型総和 < 凌宮数学 (LimgMath)

凌宮表記述： $\sum_{i=0}^{n} c_i$ ： $\sum_{0 \le i \le n} c_i$

総和記号は、1飛びで変わる数列の総和を取るのに便利である。
しかし、2つ飛びになる途端に複雑な書き方になる。

例えば、正弦関数の $$ n $$ 倍角の公式はこのようになる*1：

$\sin n\theta = \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor} (-1)^k {}_n C_{2k+1} (\cos\theta)^{n-(2k+1)} (\sin\theta)^{2k+1}$

要は、 $\sum_{k=0}^n$ ${}_n C^{k}$ $cos^{n-l}\theta$ $\:i$ $\sin^k\theta$ の虚数部として $$ k $$ が奇数な項の総和である。

$$ k $$ が奇数のとき、 $\:i^k$ が $\pm\:i$ になり虚数部に加算されるために、飛び飛びで総和したい。
式の中に現れる $$ 2k+1 $$ は奇数を表すための表現で本質ではない。
総和の終端である $\left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor$ に至っては完全にその帳尻合わせである。

凌宮数学では、これを以下のように書く。

$\sin n\theta = \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 2 = 1} (-1)^k {}_n C_{k} \cos^{n-k}\theta \sin^{k}\theta$

総和記号の上下に添え字の束縛条件を宣言し、条件に適合する添え字に関して総和を取る。
この表記を宣言型総和、添字の生成手続きを一般項に書く従来表記を手続型総和と呼ぶ。

なお、 $\%$ は除余を表し、 $$ k $$ $\%$ $$ 2 $$ $$ = $$ $$ 1 $$ を $$ k $$ $\bmod$ $$ 2 $$ $$ = $$ $$ 1 $$ や $$ k $$ $\equiv$ $$ 1 $$ $\pmod 2$ と書いても同じ。

*1 『三角関数のｎ倍角の公式について』 http://www.igaris.com/math/n-tuple_identities.pdf

宣言型総和

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凌宮表記述： ：

凌宮表記述： $\sum_{i=0}^{n} c_i$ ： $\sum_{0 \le i \le n} c_i$