凌宮表記述： $$ \sum_{i=0}^{n} c_i $$： $$ \sum_{0 \le i \le n} c_i $$ EditToHeaderToFooter

凌宮表記述： $$ \sum_{i=0}^{n} c_i $$： $$ \sum_{0 \le i \le n} c_i $$ EditToHeaderToFooter


総和記号は、1飛びで変わる数列の総和を取るのに便利である。
しかし、2つ飛びになる途端に複雑な書き方になる。

例えば、正弦関数の$$ n $$倍角の公式はこのようになる*1：
#spanend &spanadd; \sin n\theta =&spanend; &spanadd; \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor}&spanend; &spanadd; (-1)^k&spanend; &spanadd; {}_n C_{2k+1}&spanend; &spanadd; (\cos\theta)^{n-(2k+1)}&spanend; &spanadd; (\sin\theta)^{2k+1} &spanend; #spanadd 
/home/limg/www/LimgMath/eq! You can't use `macro parameter character #' in math mode.
  \displaystyle \mathstrut ##
                                       spanend &spanadd; \sin n\theta =&span...
l.17 \end{align*}

要は、$$ \sum_{k=0}^n $$$$ {}_n C^{k} $$$$ cos^{n-l}\theta $$$$ \:i $$$$ \sin^k\theta $$の虚数部として$$ k $$が奇数な項の総和である。

$$ k $$が奇数のとき、$$ \:i^k $$が$$ \pm\:i $$になり虚数部に加算されるために、飛び飛びで総和したい。
式の中に現れる$$ 2k+1 $$は奇数を表すための表現で本質ではない。
総和の終端である$$ \left\lfloor \frac{n-1}2 \right\rfloor $$に至っては完全にその帳尻合わせである。

凌宮数学では、これを以下のように書く。
#spanend &spanadd; \sin n\theta =&spanend; &spanadd; \sum_{0 \le k \le n}^{k \% 2 = 1}&spanend; &spanadd; (-1)^k&spanend; &spanadd; {}_n C_{k}&spanend; &spanadd; \cos^{n-k}\theta&spanend; &spanadd; \sin^{k}\theta&spanend; #spanadd 
/home/limg/www/LimgMath/eq! You can't use `macro parameter character #' in math mode.
  \displaystyle \mathstrut ##
                                       spanend &spanadd; \sin n\theta =&span...
l.17 \end{align*}

総和記号の上下に添え字の束縛条件を宣言し、条件に適合する添え字に関して総和を取る。
この表記を宣言型総和、添字の生成手続きを一般項に書く従来表記を手続型総和と呼ぶ。

なお、$$ \% $$は除余を表し、$$ k $$$$ \% $$$$ 2 $$$$ = $$$$ 1 $$を$$ k $$$$ \bmod $$$$ 2 $$$$ = $$$$ 1 $$や$$ k $$$$ \equiv $$$$ 1 $$$$ \pmod 2 $$と書いても同じ。
*1 『三角関数のｎ倍角の公式について』 http://www.igaris.com/math/n-tuple_identities.pdf
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