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/線形演算子で繋がる特性方程式
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* 背景 [#s9327502]
;,数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場する：
- （高校）数列：数列の漸近式を解くのに使われる。
- （大学）微分：微分の方程式を解くのに使われる。
- （大学）行列：行列の固有値を求める際に出くわす。
;,これらは互いに繋がってはいる。
;,しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が多い。
;,数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとして、
;,微分は微分、行列は行列と、わざわざ数列と比較することは少なかろう。
;,実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚えさせるも、
;,上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較できない状態に多い。
;,「$$ a_n $$と$$ a_{n+1} $$を$$ \alpha $$と置いて解くのを覚えろ」
((例： 教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m5120/))
は手順だけなのが論外として、
;,「等比数列の漸化式に変形する」説明
((例： おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/))
((例： 東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-recurrence-formula-list))もまだ具体すぎて、本質が見え難い。
;,本質は線形性である。
;,数列さえ線形演算として見れたら、３つの特性方程式が簡単に繋がる。
;,微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わずも線形である。
;,以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
;,数列、微分、行列における３つの特性方程式を統一的に扱ってみる。
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* 各論 [#te19e1ed]
まずは現状の確認として、個々の標準的な説明を示す。
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** 行列の線形漸化式と特性方程式による解法 [#hf1fa003]
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*** 等差数列と等比数列の漸化式 [#d5de210c]
;,高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に習う。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , $ a_0 $ + $ d $ , $ a_0 $ + $ 2d $ ,\cdots, $ a_0 $ + $ dn $ ,\cdots $$。
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , $ a_0 $ \times $ r $ , $ a_0 $ \times $ 2r $ ,\cdots, $ a_0 $ \times $ r^n $ ,\cdots $$。
;,これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n $ + $ d $$ で与えられる数列。
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n $ \times $ r $$ で与えられる数列。
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***１次線形漸化式 [#x8f292c5]
;,問題はこれらを合わせた漸化式$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ \times $ p $ + $ q $ = $ p $ a_n $ + $ q $$を持つ数列。
;,定番解法は、$$ a_{n+1} $$と$$ a_n $$を$$ \alpha $$に置き換えた特性方程式を解く(($$ q $ \neq $ 1 $$でない限り、$$ a_{n+1} $ \neq $ a_n $$が自明であり、決して「$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ = $ \alpha $$と置く」意味でないことに注意。ここ良く誤解される。あくまでも似てるが無関係な方程式を創り出している。))。
;,すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数列の漸化式に帰着する。
;,特性方程式は左右が等値なので、単純な等式変形である。
;,一方で漸化式と程よく似ているため、引きやすく、定数項が消える。
#ceq(e)
漸化式：
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ a_n $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
特性方程式：
#ceq(c)
$$ \phantom{a_{n+1}} $ \phantom- $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ $ \alpha $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
等式変形：
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $ - $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ (a_n - \alpha) $$
#ceq(d)
;,すると、数列 $$ {b_n} $ = $ {a_n - \alpha} $$が初項$$ b_0 $ = $ a_0 - \alpha $$、公比$$ p $$の数列のため、その一般項は、
#ceq(e)
$$ b_n $ = $ b_0 $ p^n $$、すなわち、$$ b_n $ = $ a_n $ - $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ p^n $$
#ceq(d)
;,$$ \alpha $$を移項すれば、$$ {a_n} $$の一般項が求まる。
#ceq(e)
$$ a_n $ = $ b_n $ + $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ p^n $ + $ \alpha $$
#ceq(d)
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*** ２次線形漸化式 [#f784f72a]
;,連続３項の漸化式として、$$ a_{n+2} $ = $ p $ a_{n+1} $ + $ q $ a_{n} $ + $ r $$ のタイプの問題がある。
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