背景 EditToHeaderToFooter

数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場する：

  • （高校）数列：数列の漸近式を解くのに使われる。
  • （大学）微分：微分の方程式を解くのに使われる。
  • （大学）行列：行列の固有値を求める際に出くわす。

これらは互いに繋がってはいる。
しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が多い。
数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとして、
微分は微分、行列は行列と、これらもわざわざ数列と比較することが少ない。

また、実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚えさせるも、
上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較できない状態に多い。
「$$ a_n $$と$$ a_{n+1} $$を$$ \alpha $$と置いて解くのを覚えろ」*1は手順だけなのが論外として、
「等比数列の漸化式に変形する」説明*2*3*4もまだ具体すぎて、本質が見え難い。

本質は線形性である。
数列さえ線形演算として見れたら、３つの特性方程式が簡単に繋がる。
微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わずも線形である。

以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
数列、微分、行列における３つの特性方程式を統一的に扱ってみる。

*1 例： 教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m5120/
*2 例： おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/
*3 例： 東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-recurrence-formula-list
*4 例： ＵＢＱ数理フォーラム https://ameblo.jp/ubqubq/entry-11553388315.html

各論 EditToHeaderToFooter

まずは現状の確認として、個々の標準的な説明を示す。

数列の線形漸化式と特性方程式による解法 EditToHeaderToFooter

等差数列と等比数列の漸化式 EditToHeaderToFooter

高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に習う。
等差数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ d $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ 2d $$$$ ,\cdots, $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ dn $$$$ ,\cdots $$。
等比数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ \times $$$$ r $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ \times $$$$ 2r $$$$ ,\cdots, $$$$ a_0 $$$$ \times $$$$ r^n $$$$ ,\cdots $$。

これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
等差数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $$$$ = $$$$ a_n $$$$ + $$$$ d $$ で与えられる数列。
等比数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $$$$ = $$$$ a_n $$$$ \times $$$$ r $$ で与えられる数列。

１次線形漸化式 EditToHeaderToFooter

問題はこれらを合わせた漸化式$$ a_{n+1} $$$$ = $$$$ a_n $$$$ \times $$$$ p $$$$ + $$$$ q $$$$ = $$$$ p $$$$ a_n $$$$ + $$$$ q $$を持つ数列。
定番解法は、$$ a_{n+1} $$と$$ a_n $$を$$ \alpha $$に置き換えた特性方程式を解く*5。
すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数列の漸化式に帰着する。

　　漸化式：

$$ a_{n+1} $$

$$ = $$$$ p $$$$ a_n $$$$ \hspace{2em} $$$$ + $$$$ q $$

　　特性方程式：

$$ \phantom{a_{n+1}} $$$$ \phantom- $$$$ \alpha $$

$$ = $$$$ p $$$$ $$$$ \alpha $$$$ \hspace{2em} $$$$ + $$$$ q $$

　　等式変形：

$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \alpha $$

$$ = $$$$ p $$$$ (a_n - \alpha) $$

ここで、数列 $$ {b_n} $$$$ = $$$$ {a_n - \alpha} $$を考えば、初項$$ b_0 $$$$ = $$$$ a_0 - \alpha $$、公比$$ p $$の数列のため、
その一般項は、

$$ b_n $$$$ = $$$$ b_0 $$$$ p^n $$、すなわち、$$ b_n $$$$ = $$$$ a_n $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ = $$$$ (a_0 - \alpha) $$$$ p^n $$

$$ \alpha $$を移項すれば、$$ {a_n} $$の一般項が求まる。

$$ a_n $$$$ = $$$$ b_n $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ = $$$$ (a_0 - \alpha) $$$$ p^n $$$$ + $$$$ \alpha $$

*5 $$ q $$$$ \neq $$$$ 1 $$でない限り、$$ a_{n+1} $$$$ \neq $$$$ a_n $$が自明であり、決して「$$ a_{n+1} $$$$ = $$$$ a_n $$$$ = $$$$ \alpha $$と置く」意味でないことに注意。ここ良く誤解される。あくまでも似てるが無関係な方程式を創り出している。

２次線形漸化式 EditToHeaderToFooter

連続３項の漸化式として、$$ a_{n+2} $$$$ + $$$$ p $$$$ a_{n+1} $$$$ + $$$$ q $$$$ a_{n} $$$$ = $$$$ 0 $$ のタイプの問題も高校で扱う。
解き方は、$$ a_{n+2} $$を$$ t^2 $$、$$ a_{n+1} $$を$$ t $$、$$ a_n $$を$$ 1 $$に差し替えた特性方程式 $$ t^2 $$$$ + $$$$ p $$$$ t $$$$ + $$$$ q $$$$ = $$$$ 0 $$を解き、
その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば*6、特性方程式が$$ (t - \alpha) $$$$ (t - \beta) $$$$ = $$$$ 0 $$となる。

すると、解と係数の関係で $$ p $$$$ = $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ - $$$$ \beta $$、$$ q $$$$ = $$$$ \alpha $$$$ \beta $$と言えるので、これを利用して、
漸化式を数列$$ {a_n} $$と$$ \alpha $$の式と、公比が$$ \beta $$の漸近式に分離した形に変形できる。

$$ a_{n+2} $$$$ - $$$$ (\alpha + \beta) $$$$ a_{n+1} $$$$ + $$$$ \alpha $$$$ \beta $$$$ a_n $$$$ = $$$$ 0 $$

$$ \Leftrightarrow $$$$ ( $$$$ a_{n+2} $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_{n+1} $$$$ ) $$$$ - $$$$ \beta $$$$ ( $$$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_n $$$$ ) $$$$ = $$$$ 0 $$

$$ \Leftrightarrow $$$$ ( $$$$ a_{n+2} $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_{n+1} $$$$ ) $$$$ = $$$$ \beta $$$$ ( $$$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_n $$$$ ) $$

同様に、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が対称的なので、逆に扱った変換もできて、

$$ \Leftrightarrow $$$$ ( $$$$ a_{n+2} $$$$ - $$$$ \beta $$$$ a_{n+1} $$$$ ) $$$$ = $$$$ \alpha $$$$ ( $$$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \beta $$$$ a_n $$$$ ) $$

それぞれから等比数列を出して、

$$ ( $$$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_{n} $$$$ ) $$$$ = $$$$ ( $$$$ a_1 $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_0 ) $$$$ \beta ^n $$

$$ ( $$$$ a_{n+1} $$$$ - $$$$ \beta $$$$ a_{n} $$$$ ) $$$$ = $$$$ ( $$$$ a_1 $$$$ - $$$$ \beta $$$$ a_0 ) $$$$ \alpha^n $$

さらに数列の差を取れば、

$$ ( $$$$ \beta $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ ) $$$$ a_{n} $$$$ = $$$$ ( $$$$ a_1 $$$$ - $$$$ \beta $$$$ a_0 ) $$$$ \alpha^n $$$$ - $$$$ ( $$$$ a_1 $$$$ - $$$$ \alpha $$$$ a_0 ) $$$$ \beta ^n $$

よって、

$$ a_{n} $$$$ = $$$$ \ffd{(a_1 - \beta\,a_0) \alpha^n - (a_1 - \alpha\,a_0) \beta^n }{\beta - \alpha} $$

*6 いわゆる解なしの場合も虚数解を認めば解けるが、複素数を知らない高校生では軽く詰む。
　　参考： 数学キノシタの家庭教師な日々： https://eisuukinoshita.hatenablog.com/entry/20170308/1488930649。

定数係数線形常微分方程式と特性方程式による解法 EditToHeaderToFooter

定数係数線形常微分方程式 EditToHeaderToFooter

一般に微分可能な１変数関数$$ y(x) $$を$$ x $$を$$ n $$回微分した$$ \ddd{^ny}{x^n} $$を全て$$ y $$の常微分と言い、
常微分の線形結合$$ \sum_{k=0}^n $$$$ a_k $$$$ \ddd{^ky}{x^k} = $$$$ f(x) $$を線形常微分方程式と呼ぶ。
全ての$$ a_k $$が$$ x $$に対して定数である場合、定数係数線形常微分方程式と呼ぶ。

要は具体に、

１階定数係数線形常微分方程式は

$$ a_1 $$$$ \ddd{y(x)}{x} $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ y(x) $$$$ = $$$$ f(x) $$

２階定数係数線形常微分方程式は

$$ a_2 $$$$ \ddd{^2y(x)}{x^2} $$$$ + $$

$$ a_1 $$$$ \ddd{y(x)}{x} $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ y(x) $$$$ = $$$$ f(x) $$

煩わしいので、一般的には$$ (x) $$を省き、最高階の係数を$$ 1 $$とし、微分演算子$$ D $$$$ = $$$$ \ddd{}{x} $$を導入する。

１階定数係数線形常微分方程式：

$$ \,\phantom{a_1} $$$$ Dy $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ y $$$$ = $$$$ f $$

２階定数係数線形常微分方程式：

$$ D^2y $$$$ + $$

$$ $$$$ a_1 $$$$ Dy $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ y $$$$ = $$$$ f $$

１階定数係数線形常微分方程式 EditToHeaderToFooter

$$ Dy $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ y $$$$ = $$$$ f $$ は $$ y $$$$ = $$$$ e^{\lambda x} $$と置くことで解ける。

$$ Dy $$$$ = $$$$ De^{\lambda x} $$$$ = $$$$ \lambda $$$$ e^{\lambda x} $$のため、
方程式は$$ ( $$$$ \lambda $$$$ + $$$$ a_0 $$$$ ) $$$$ e^{\lambda x} $$$$ = $$$$ f $$
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