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/線形演算子で繋がる特性方程式
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* 背景 [#s9327502]
;,数学では「特性方程式」という言葉が次の異なる分野で登場する：
- （高校）数列：数列の漸近式を解くのに使われる。
- （大学）微分：微分の方程式を解くのに使われる。
- （大学）行列：行列の固有値を求める際に出くわす。
;,これらは互いに繋がってはいる。
;,しかし別々に学ぶためか、繋がるように説明されない場合が多い。
;,数列を学ぶときは、微分も行列も知らないから仕方ないとして、
;,微分は微分、行列は行列と、これらもわざわざ数列と比較することが少ない。
;,また、実際問題として、数列では特性方程式を手段として覚えさせるも、
;,上手く行く理由の説明が不十分だったりと、簡単に比較できない状態に多い。
;,「$$ a_n $$と$$ a_{n+1} $$を$$ \alpha $$と置いて解くのを覚えろ」
((例： 教科書より詳しい高校数学 https://yorikuwa.com/m5120/))
は手順だけなのが論外として、
;,「等比数列の漸化式に変形する」説明
((例： おいしい数学 https://mathsuke.jp/characteristic-equation-recurrence/))
((例： 東大塾長の理系ラボ https://rikeilabo.com/bacis-recurrence-formula-list))
((例： ＵＢＱ数理フォーラム https://ameblo.jp/ubqubq/entry-11553388315.html))もまだ具体すぎて、本質が見え難い。
;,本質は線形性である。
;,数列さえ線形演算として見れたら、３つの特性方程式が簡単に繋がる。
;,微分方程式は線形常微分方程式に限られるし、行列は言わずも線形である。
;,以下に、数列の漸化式を線形演算として捉え、
;,数列、微分、行列における３つの特性方程式を統一的に扱ってみる。
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* 各論 [#te19e1ed]
まずは現状の確認として、個々の標準的な説明を示す。
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** 行列の線形漸化式と特性方程式による解法 [#hf1fa003]
** 数列の線形漸化式と特性方程式による解法 [#hf1fa003]
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*** 等差数列と等比数列の漸化式 [#d5de210c]
;,高校で数列を扱う際に、等差数列、等比数列、漸化式の順に習う。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , $ a_0 $ + $ d $ , $ a_0 $ + $ 2d $ ,\cdots, $ a_0 $ + $ dn $ ,\cdots $$。
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、公差$$ a $$の数列$$ a_0 $ , $ a_0 $ \times $ r $ , $ a_0 $ \times $ 2r $ ,\cdots, $ a_0 $ \times $ r^n $ ,\cdots $$。
;,これらはそのまま単純な漸化式として捉えることができる。
;,等差数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n $ + $ d $$ で与えられる数列。
;,等比数列は、初項$$ a_0 $$、漸化式$$ a_{n_+1} $ = $ a_n $ \times $ r $$ で与えられる数列。
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***１次線形漸化式 [#x8f292c5]
;,問題はこれらを合わせた漸化式$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ \times $ p $ + $ q $ = $ p $ a_n $ + $ q $$を持つ数列。
;,定番解法は、$$ a_{n+1} $$と$$ a_n $$を$$ \alpha $$に置き換えた特性方程式を解く(($$ q $ \neq $ 1 $$でない限り、$$ a_{n+1} $ \neq $ a_n $$が自明であり、決して「$$ a_{n+1} $ = $ a_n $ = $ \alpha $$と置く」意味でないことに注意。ここ良く誤解される。あくまでも似てるが無関係な方程式を創り出している。))。
;,すると、元の漸化式から特性方程式の辺々を引けば、等比数列の漸化式に帰着する。
//;,特性方程式は左右が等値なので、単純な等式変形である。
//;,一方で漸化式と程よく似ているため、引きやすく、定数項が消える。
#ceq(e)
漸化式：
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ a_n $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
特性方程式：
#ceq(c)
$$ \phantom{a_{n+1}} $ \phantom- $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ $ \alpha $ \hspace{2em} $ + $ q $$
#ceq(e)
等式変形：
#ceq(c)
$$ a_{n+1} $ - $ \alpha $$
#ceq(c)
$$ = $ p $ (a_n - \alpha) $$
#ceq(d)
;,ここで、数列 $$ {b_n} $ = $ {a_n - \alpha} $$を考えば、初項$$ b_0 $ = $ a_0 - \alpha $$、公比$$ p $$の数列のため、
;,その一般項は、
#ceq(e)
$$ b_n $ = $ b_0 $ p^n $$、すなわち、$$ b_n $ = $ a_n $ - $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ p^n $$
#ceq(d)
;,$$ \alpha $$を移項すれば、$$ {a_n} $$の一般項が求まる。
#ceq(e)
$$ a_n $ = $ b_n $ + $ \alpha $ = $ (a_0 - \alpha) $ p^n $ + $ \alpha $$
#ceq(d)
%bodynote
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*** ２次線形漸化式 [#f784f72a]
;,連続３項の漸化式として、$$ a_{n+2} $ + $ p $ a_{n+1} $ + $ q $ a_{n} $ = $ 0 $$ のタイプの問題も高校で扱う。
;,解き方は、$$ a_{n+2} $$を$$ t^2 $$、$$ a_{n+1} $$を$$ t $$、$$ a_n $$を$$ 1 $$に差し替えた特性方程式 $$ t^2 $ + $ p $ t $ + $ q $ = $ 0 $$を解き、
;,その解を$$ \alpha $$と$$ \beta $$と置けば
((いわゆる解なしの場合も虚数解を認めば解けるが、複素数を知らない高校生では軽く詰む。&br; 参考： 数学キノシタの家庭教師な日々： https://eisuukinoshita.hatenablog.com/entry/20170308/1488930649。))、
特性方程式が$$ (t - \alpha) $ (t - \beta) $ = $ 0 $$となる。
;,すると、解と係数の関係で $$ p $ = $ - $ \alpha $ - $ \beta $$、$$ q $ = $ \alpha $ \beta $$と言えるので、これを利用して、
;,漸化式を数列$$ {a_n} $$と$$ \alpha $$の式と、公比が$$ \beta $$の漸近式に分離した形に変形できる。
#ceq(e)
$$ a_{n+2} $ - $ (\alpha + \beta) $ a_{n+1} $ + $ \alpha $ \beta $ a_n $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+1} $ ) $ - $ \beta $ ( $ a_{n+1} $ - $ \alpha $ a_n $ ) $ = $ 0 $$
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \alpha $ a_{n+1} $ ) $ = $ \beta $ ( $ a_{n+1} $ - $ \alpha $ a_n $ ) $$
#ceq(d)
;,同様に、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が対称的なので、逆に扱った変換もできて、
#ceq(e)
$$ \Leftrightarrow $ ( $ a_{n+2} $ - $ \beta $ a_{n+1} $ ) $ = $ \alpha $ ( $ a_{n+1} $ - $ \beta $ a_n $ ) $$
#ceq(d)
;,それぞれから等比数列を出して、
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \alpha $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $ - $ \alpha $ a_0 ) $ \beta ^n $$
#ceq(e)
$$ ( $ a_{n+1} $ - $ \beta $ a_{n} $ ) $ = $ ( $ a_1 $ - $ \beta $ a_0 ) $ \alpha^n $$
#ceq(d)
;,さらに数列の差を取れば、
#ceq(e)
$$ ( $ \beta $ - $ \alpha $ ) $ a_{n} $ = $ ( $ a_1 $ - $ \beta $ a_0 ) $ \alpha^n $ - $ ( $ a_1 $ - $ \alpha $ a_0 ) $ \beta ^n $$
#ceq(d)
;,よって、
#ceq(e)
$$ a_{n} $ = $ \ffd{(a_1 - \beta\,a_0) \alpha^n - (a_1 - \alpha\,a_0) \beta^n }{\beta - \alpha} $$
#ceq(d)
%bodynote
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** 定数係数線形常微分方程式と特性方程式による解法 [#pef64fdf]
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*** 定数係数線形常微分方程式 [#d46c542e]
;,一般に微分可能な１変数関数$$ y(x) $$を$$ x $$を$$ n $$回微分した$$ \ddd{^ny}{x^n} $$を全て$$ y $$の常微分と言い、
;,常微分の線形結合$$ \sum_{k=0}^n $ a_k $ \ddd{^ky}{x^k} = $ f(x) $$を線形常微分方程式と呼ぶ。
;,全ての$$ a_k $$が$$ x $$に対して定数である場合、定数係数線形常微分方程式と呼ぶ。
;,要は具体に、
#ceq(e)
１階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(e)
２階定数係数線形常微分方程式は
#ceq(c)
$$ a_2 $ \ddd{^2y(x)}{x^2} $ + $$
#ceq(c)
$$ a_1 $ \ddd{y(x)}{x} $ + $ a_0 $ y(x) $ = $ f(x) $$
#ceq(d)
;,煩わしいので、一般的には$$ (x) $$を省き、最高階の係数を$$ 1 $$とし、微分演算子$$ D $ = $ \ddd{}{x} $$を導入する。
#ceq(e)
１階定数係数線形常微分方程式：
#ceq(c)
#ceq(c)
$$ \,\phantom{a_1} $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(e)
２階定数係数線形常微分方程式：
#ceq(c)
$$ D^2y $ + $$
#ceq(c)
$$ $ a_1 $ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$
#ceq(d)
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*** １階定数係数線形常微分方程式 [#lbfbb9d8]
;,$$ Dy $ + $ a_0 $ y $ = $ f $$ は $$ y $ = $ e^{\lambda x} $$と置くことで解ける。
;,$$ Dy $ = $ De^{\lambda x} $ = $ \lambda $ e^{\lambda x} $$のため、
;,方程式は$$ ( $ \lambda $ + $ a_0 $ ) $ e^{\lambda x} $ = $ f $$
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