多項式の単位面積 のバックアップ差分(No.3)

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  • 1 (2019.0220 (水) 0347.2400)
  • 2 (2019.0220 (水) 0419.2500)
  • 3 (2020.0106 (月) 2252.2700)
  • 4 (2020.0406 (月) 0155.2300)
  • 5 (2020.0406 (月) 0329.2200)
  • 6 (2020.0406 (月) 0536.1400)

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* 多項式単位面積 [#dd9b60c7]
;,受験数学では、2次関数と直線に囲まれる面積を求める便利公式として、
;,1/6公式、1/3公式、1/12公式などと呼ばれる公式群がある。
- cf: [[高校数学の美しい物語／二次関数の面積に関する1/3公式と1/12公式の証明>https://mathtrain.jp/13112formula]]
- cf: [[受験の月／1/3公式を利用して求める面積2パターンと裏技a/3公式>http://examist.jp/mathematics/math-2/integral/13area/]]

;,例えば、2次項の係数が$$ a $$の2次関数$$ P $$：$$ y $ = $ ax^2 $ + $ \cdots $$について、
;,$$ P $$と任意直線$$ L $$が2点で交わり、交点座標の$$ x $$成分がそれぞれ$$ \alpha $$と$$ \beta $$のとき、
;,$$ P $$と$$ L $$に囲まれる図形の面積は$$ \ffd16 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。

;,これらの公式は以下の因子を持ち、面積$$ S $ = $ k $ |a| $ |\beta - \alpha|^n $$という形をしている。
- 簡単な整数比となる係数$$ k $$
- 多項式関数の最高次項の係数の絶対値$$ |a| $$
- ２点の$$ x $$座標差の累乗$$ |\beta - \alpha|^n $$

;,頻出問題に有効な上に、係数が簡単な整数比であるため、暗記対象とされる場合が多い。
;,その中、図形的意味を吟味して、直観的に理解する試みも為されている。
- cf: [[twitter／@ysmemoirs／「公益に資するイラスト」>https://twitter.com/ysmemoirs/status/1097823088186613760]]

;,本記事では、凌宮数学の流儀でこの公式群の図形的意味について考察する。

* 単位正方形内における曲線形の面積 [#vc1dda58]

;,一般に、多項式$$ x^n $$について区間$$ \alpha::\beta $$の面積は$$ \int_\alpha^\beta $ x^n $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd1{n+1} $ x^{n+1} $ \Big]_\alpha^\beta $$で与えられる。
;,そのため、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が整数のとき、面積は$$ U_n $ = $ \ffd{1}{n+1} $$の整数倍になる。
;,さらに、$$ U_n $$は区間$$ 0::1 $$の面積$$ \int_0^1 $ x^n $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd1{n+1} $ x^{n+1} $ \Big]_0^1 $$の解でもある。
;,そのため、$$ U_n $$を$$ n $$次関数の単位面積と見なせる。

;,以下では、区間$$ 0::1 $$における多項式の単位面積から出発し、単位面積の差で上記公式群の係数を導く。
;,この導出が可能なため、公式群を便宜的に「多項式の単位面積公式」と呼ぶことにする。

* 単項式の単位面積：区間$$ 0::1 $$の面積 [#re3dbf83]
** ２次単項式$$ x^2 $$の単位面積$$ U_2 $$ [#kf8768eb]
$$ U_2 $ = $ \int_0^1 $ x^2 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd13 $ x^3 $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd13 $$。

** 1/3公式 [#wd994e63]
1/3公式
#ceq
;,　　放物線$$ P $$：$$ y $ = $ ax^2 $ + $ bx $ + $ c $$と直線$$ L $$：$$ y $ = $ px $ + $ q $$が
;,　　点$$ A(\alpha, \alpha_y) $$で接し、放物線$$ P $$と直線$$ L $$と$$ x $ = $ \beta $$に囲まれる図形の面積は、
;,　　$$ \ffd13 $ |a| $ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。
#ceq(d)

…

1/3公式の係数$$ \ffd13 $$は$$ U_2 $ = $ \ffd13 $$である。

** １次単項式$$ x^3 $$の単位面積$$ U_3 $$ [#kf8768eb]
$$ U_1 $ = $ \int_0^1 $ x^1 $ dx $ = $ \Big[ $ \ffd12 $ x^4 $ \Big]_0^1 $ = $ \ffd12 $$。

** 1/6公式 [#q27195c0]
…

1/6公式の係数$$ \ffd16 $$は$$ U_1 $ - $ U_2 $ = $ \ffd12 $ - $ \ffd13 $ = $ \ffd16 $$である。

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