多項式単位面積 EditToHeaderToFooter

受験数学では、2次関数と直線に囲まれる面積を求める便利公式として、
1/6公式、1/3公式、1/12公式などと呼ばれる公式群がある。

例えば、2次関数$$ y $$$$ = $$$$ ax^2 $$$$ + $$$$ bx $$$$ + $$$$ c $$で表される放物線について、
任意の直線と2点で交わり、交点の$$ x $$成分がそれぞれ$$ \alpha $$と$$ \beta $$のとき、
放物線と直線に囲まれる図形の面積は$$ \ffd16 $$$$ |a| $$$$ |\beta - \alpha|^3 $$になる。

これらの公式は以下の因子を持ち、面積$$ S $$$$ = $$$$ k $$$$ |a| $$$$ |\beta - \alpha|^n $$という形をしている。

  • 簡単な整数比となる係数$$ k $$
  • 多項式関数の最高次項の係数の絶対値$$ |a| $$
  • 2点の$$ x $$座標差の累乗$$ |\beta - \alpha|^n $$

頻出問題に有効な上に、係数が簡単な整数比であるため、暗記対象とされる場合が多い。
その中、図形的意味を吟味して、直観的に理解する試みも為されている。

以下では、この公式群の図形的意味について考察する。

単位正方形内における多項式の積分 EditToHeaderToFooter

単位正方形内における単項式曲線の積分 EditToHeaderToFooter

手始めに簡単な例として、単項式$$ x^n $$を区間$$ 0::1 $$*1での積分を考える。
積分は$$ U_n $$$$ = $$$$ \int_0^1 $$$$ x^n $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd{x^{n+1}}{n+1} $$$$ \Big]_0^1 $$$$ = $$$$ \ffd{1}{n+1} $$となる。

$$ x $$$$ = $$$$ 1 $$のとき、必ず$$ x^n $$$$ = $$$$ 1 $$であるため、
積分値$$ U_n $$は$$ 1 $$$$ \times $$$$ 1 $$の正方形の中に占める多次曲線の下の面積を表す。
具体的に、

Sp0.png

$$ y $$$$ = $$$$ x^0 $$
$$ U_0 $$$$ = $$$$ \int_0^1 $$$$ x^0 $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ x $$$$ \Big]_0^1 $$$$ = $$$$ 1 $$
$$ 0 $$次曲線の場合は正方形の面積そのもの。
正方形の$$ 1 $$倍の面積と言える。

Sp1.png

$$ y $$$$ = $$$$ x^1 $$
$$ U_1 $$$$ = $$$$ \int_0^1 $$$$ x^1 $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ \Big]_0^1 $$$$ = $$$$ \ffd12 $$
$$ 1 $$次曲線の場合は三角形の面積になる。
正方形の$$ \ffd12 $$倍の面積になるのが公式通り。

一般に、多項式$$ x^n $$について区間$$ \alpha::\beta $$の面積は$$ S $$$$ = $$$$ \int_\alpha^\beta $$$$ x^n $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd1{n+1} $$$$ x^{n+1} $$$$ \Big]_\alpha^\beta $$で与えられる。
これを$$ S $$$$ = $$$$ \ffd1{n+1} $$$$ (\beta - \alpha)^{n+1} $$$$ = $$$$ \ffd1{n+1} $$$$ \cdot $$$$ (\beta - \alpha) $$$$ \cdot $$$$ (\beta - \alpha)^n $$ と変形すると、

そのため、$$ \alpha $$と$$ \beta $$が整数のとき、面積は$$ U_n $$$$ = $$$$ \ffd{1}{n+1} $$の整数倍になる。
さらに、$$ U_n $$は区間$$ 0::1 $$の面積$$ \int_0^1 $$$$ x^n $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd1{n+1} $$$$ x^{n+1} $$$$ \Big]_0^1 $$の解でもある。
そのため、$$ U_n $$を$$ n $$次関数の単位面積と見なせる。

以下では、区間$$ 0::1 $$における多項式の単位面積から出発し、単位面積の差で上記公式群の係数を導く。
この導出が可能なため、公式群を便宜的に「多項式の単位面積公式」と呼ぶことにする。

単項式の単位面積：区間$$ 0::1 $$の面積 EditToHeaderToFooter

２次単項式$$ x^2 $$の単位面積$$ U_2 $$ EditToHeaderToFooter

$$ U_2 $$$$ = $$$$ \int_0^1 $$$$ x^2 $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd13 $$$$ x^3 $$$$ \Big]_0^1 $$$$ = $$$$ \ffd13 $$。

1/3公式 EditToHeaderToFooter

1/3公式

　　放物線$$ P $$：$$ y $$$$ = $$$$ ax^2 $$$$ + $$$$ bx $$$$ + $$$$ c $$と直線$$ L $$：$$ y $$$$ = $$$$ px $$$$ + $$$$ q $$が
　　点$$ A(\alpha, \alpha_y) $$で接し、放物線$$ P $$と直線$$ L $$と$$ x $$$$ = $$$$ \beta $$に囲まれる図形の面積は、
　　$$ \ffd13 $$$$ |a| $$$$ |\beta - \alpha|^3 $$で求まる。

…

1/3公式の係数$$ \ffd13 $$は$$ U_2 $$$$ = $$$$ \ffd13 $$である。

１次単項式$$ x^3 $$の単位面積$$ U_3 $$ EditToHeaderToFooter

$$ U_1 $$$$ = $$$$ \int_0^1 $$$$ x^1 $$$$ dx $$$$ = $$$$ \Big[ $$$$ \ffd12 $$$$ x^4 $$$$ \Big]_0^1 $$$$ = $$$$ \ffd12 $$。

1/6公式 EditToHeaderToFooter

…

1/6公式の係数$$ \ffd16 $$は$$ U_1 $$$$ - $$$$ U_2 $$$$ = $$$$ \ffd12 $$$$ - $$$$ \ffd13 $$$$ = $$$$ \ffd16 $$である。

*1 凌宮の区間表記。$$ x $$$$ \in $$$$ 0::1 $$ は $$ 0 $$$$ \le $$$$ x $$$$ \le $$$$ 1 $$の意味。
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