多次元フーリエ変換 EditToHeaderToFooter

フーリエ変換は周期現象の記述から制御工学など幅広い分野において役立つ道具である。
空間解析や時空間解析では2次元、3次元、4次元のフーリエ変換が必要となる。
高次元のフーリエ変換では面積分、体積分や高階の定積分が登場するが、
1階の線積分と紛らわしい表記が通常表記となっている*1

正変換: $$ F(\:k) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int_{\mathbb{R}^n}\! $$$$ f(\:r) $$$$ e^{-\:i\,\:k\sx\:r} $$$$ d\:r $$
逆変換: $$ f(\:r) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(2\pi)^n} $$$$ \int_{\mathbb{R}^n}\! $$$$ F(\:k) $$$$ e^{\:i\,\:k\sx\:r} $$$$ d\:k $$

$$ \:r $$は位置ベクトル
$$ \:k $$は角波数ベクトル、若しくは角空間周波数

例えば、正変換に関して、全領域におけるスカラ場$$ f(\:r) $$$$ e^{-\:i\,\:k\sx\:r} $$の線積分が存在するならば、
積分領域の表記$$ \mathbb{R}^n $$$$ \mathbb{R} $$で区別しかない。
全領域の意味で$$ \Omega $$$$ = $$$$ \mathbb{R}^n $$の表記を使うと全くの同形になってしまう。

$$ n $$次元線積分: $$ \:\varphi(\:k) $$$$ = $$$$ \int_{\mathbb{R}}\! $$$$ f(\:r) $$$$ e^{-\:i\,\:k\sx\:r} $$$$ d\:r $$

$$ n $$次元体積分: $$ F(\:k) $$$$ = $$$$ \int_{\Omega}\! $$$$ f(\:r) $$$$ e^{-\:i\,\:k\sx\:r} $$$$ d\:r $$

体積分の表記には微小体積$$ dV $$の専用記号を設ける手法が一般的ではあるが、
基底の情報を含まないため、空間領域と角波数領域の区別が求められるフーリエ変換では役不足。
そのため、基底の情報を持った位置ベクトル$$ d\:r $$$$ d\:k $$*2を使われているものの、
今度は位置ベクトルは線積分の表記でも用いられるために記号衝突が起きる*3

これに対し、凌宮数学では外積代数に基づく基底積の表記法があり、
基底積を使えば、空間領域と角波数領域を書き分けながら、線積分・体積分も書き分けられる。

*1 中央大学/理工学研究科/物理学専攻/中野研究室/数理解析/2フーリエ変換
*2 $$ \:r $$が空間領域における位置ベクトルであるように、$$ d:k $$は波数領域における位置ベクトルである。
*3 実際、積分領域で区別できる上に、文脈もあるため、誤解するほどではない。

基底積による多次元フーリエ変換の記述 EditToHeaderToFooter

位置ベクトル$$ \:r $$に対し、微小変位ベクトル$$ d\:r $$が定義でき、
各次元におけるウェッジ積により最高次数のウェッジ積は以下のようになる。

1次元

$$ d\:r $$$$ = $$$$ (dx) $$

$$ d\:r^{\wx1} $$$$ = $$$$ dx $$

2次元

$$ d\:r $$$$ = $$$$ (dx, dy) $$

$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ dx $$$$ dy $$

3次元

$$ d\:r $$$$ = $$$$ (dx, dy, dz) $$

$$ d\:r^{\wx3} $$$$ = $$$$ dx $$$$ dy $$$$ dz $$

4次元

$$ d\:r $$$$ = $$$$ (dx, dy, dz, dt) $$

$$ d\:r^{\wx4} $$$$ = $$$$ dx $$$$ dy $$$$ dz $$$$ dt $$

同様に角波数ベクトル$$ \:k $$に対し、微小角波数ベクトル$$ d\:k $$が定義でき、
各次元におけるウェッジ積により最高次数のウェッジ積は以下のようになる。

1次元

$$ d\:k $$$$ = $$$$ (dk_x) $$

$$ d\:k^{\wx1} $$$$ = $$$$ dk_x $$

2次元

$$ d\:k $$$$ = $$$$ (dk_x, dk_y) $$

$$ d\:k^{\wx2} $$$$ = $$$$ dk_x $$$$ dk_y $$

3次元

$$ d\:k $$$$ = $$$$ (dk_x, dk_y, dk_z) $$

$$ d\:k^{\wx3} $$$$ = $$$$ dk_x $$$$ dk_y $$$$ dk_z $$

4次元

$$ d\:k $$$$ = $$$$ (dk_x, dk_y, dk_z, d\omega) $$

$$ d\:k^{\wx4} $$$$ = $$$$ dk_x $$$$ dk_y $$$$ dk_z $$$$ d\omega $$

基底積の表記には、空間を表す基底$$ \:r $$$$ \:k $$を含むため、空間を書き分けできる。
また、微小の次数を含むため、線積分とも書き分けできる。

この表記を多次元フーリエ変換の式に適応すると、以下のようになる:

正変換: $$ F(\:k) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int_{\mathbb{R}^n}\! $$$$ f(\:r) $$$$ e^{-\:i \:k\sx\:r} $$$$ d\:r^{\wx n} $$
逆変換: $$ f(\:r) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(2\pi)^n} $$$$ \int_{\mathbb{R}^n}\! $$$$ F(\:k) $$$$ e^{\:i \:k\sx\:r} $$$$ d\:k^{\wx n} $$

$$ \:r $$は位置ベクトル
$$ \:k $$は角波数ベクトル

特に、4次元時空間領域に関しては次の分離表記にも柔軟に対応できる。

正変換: $$ F(\:k, \omega) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int_{\mathbb{R}^4}\! $$$$ f(\:r, t) $$$$ e^{-\:i (\:k\sx\:r - \omega t)} $$$$ d(\:r, t)^{\wx 4} $$
逆変換: $$ f(\:r, t) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(2\pi)^4} $$$$ \int_{\mathbb{R}^4}\! $$$$ F(\:k, \omega) $$$$ e^{\:i (\:k\sx\:r - \omega t)} $$$$ d(\:k, \omega)^{\wx 4} $$

$$ \:r $$は位置ベクトル、$$ t $$は時間
$$ \:k $$は角波数ベクトル、$$ \omega $$は角周波数

    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS