基底積 EditToHeaderToFooter

基底成分表記で述べた通り、猫式では通常ベクトル演算の倍積、外積、内積に対して$$ \wx $$を適応するとき、微小ベクトルの$$ \wx $$と区別するため、$$ \wxv $$で表記する。これより、微小ベクトルの３種類の演算は次のように書ける。

１次形式 $$ \wx $$ ０次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{ 1}{d\:S} | B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r | \:A \wxv B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r | \:A B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ １次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{d\:r}{d\:S} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:S | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:S | \:A \vx \:B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ ２次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{d\:S}{d\:S} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d V | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d V | \:A \sx \:B ] $$

これは、微小ベクトルの外積の成分側は$$ \wxv $$というであると理解できる。また、$$ \wxv $$は個々の形式において通常ベクトルの演算のどれかに対応している。非常に単純な関係だが、２種類の外積を区別しない限り簡単に見えてこない。

しかし、例えば$$ [ d\:S | \:A \wxv \:B ] $$という表現は成分側は等号の左側の成分側を演算子で結んでいる形をしているのに、基底側は等号の左側に無い記号を使っていて、バランスが悪い。そこで、基底側にも成分側と同様に$$ \wxb $$演算子を形式的に定義してあげると、以下のように微小ベクトルの外積$$ \wx $$が$$ \wxb $$と$$ \wxv $$に分割され、それぞれの計算法則に従って計算されるように見える。ここで、$$ \wxb $$は基底側の積のため、基底積と呼ぶ。

１次形式 $$ \wx $$ ０次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{ 1}{d\:S} | B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb \spc{ 1}{d\:S} | \:A \wxv B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r | \:A B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ １次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{d\:r}{d\:S} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb \spc{d\:r}{d\:S} | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:S | \:A \vx \:B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ ２次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ \spc{d\:S}{d\:S} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb \spc{d\:S}{d\:S} | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d V | \:A \sx \:B ] $$

記号の由来は$$ \wx $$の基底側に現われる積のために似せているが、$$ \wxv $$は$$ \wx $$と同じく外積空間を作る外積ではあるのに対し、$$ \wxb $$は計算法則が異なる。今は基底積の演算法則は重要ではないが、一応３次元の場合は成分表示をすると次のようになる。微小ベクトルの外積として計算し、その微小基底と対応する通常基底を並べただけである。

微小ベクトルの１次形式 $$ \wxb $$ ０次形式
$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ \spc{ 1}{d^2\:S} $$$$ = $$$$ \spc{d^1\:r}{d^2\:S} $$$$ \;\Leftrightarrow\; $$$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$$$ \wxb $$$$ \arrb{1 & 1} $$$$ = $$$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z } $$

微小ベクトルの１次形式 $$ \wxb $$ １次形式
$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ \spc{d^1\:r}{d^2\:S} $$$$ = $$$$ \spc{d^2\:S}{d^2\:S} $$$$ \;\Leftrightarrow\; $$$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$$$ \wxb $$$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$$$ = $$$$ \arrb{ dydz & \:e_y \:e_z \\ dxdy & \:e_z \:e_x \\ dydx & \:e_x \:e_y } $$

微小ベクトルの１次形式 $$ \wxb $$ ２次形式
$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ \spc{d^2\:S}{d^2\:S} $$$$ = $$$$ \spc{d^3 V}{d^2\:S} $$$$ \;\Leftrightarrow\; $$$$ \arrb{dx & \:e_x \\ dy & \:e_y \\ dz & \:e_z} $$$$ \wxb $$$$ \arrb{ dydz & \:e_y\:e_z \\ dzdx & \:e_z\:e_x \\ dxdy & \:e_x\:e_y } $$$$ = $$$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz & \:e_x\:e_y\:e_z} $$

微小基底の累乗表現 EditToHeaderToFooter

基底積を用いれば、以下のように、全ての微小基底を$$ d\:r $$のみの基底積で表せる。

$$ d^1\:r $$$$ = $$$$ d\:r $$

$$ d^2\:S $$$$ = $$$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ d\:r $$

$$ d^3 V $$$$ = $$$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ d^2\:S $$$$ = $$$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ $$$$ d\:r $$$$ \wxb $$$$ d\:r $$

積がこの形になれば、累乗で書きたくなるのが数学的センスである。しかし、$$ d\:r^2 $$は既にベクトルの内積$$ d\:r \sx d\:r $$を意味する表記として頻繁に用いられるため、$$ d\:r^n $$の形で書くのは避けたい。そこで、猫式では、基底積の累乗を$$ d\:r^{\wxb n} $$、または略して$$ d\:r^{\wx n} $$と表記する*1。また、便宜上、$$ d\:r^{\wx 0} $$$$ = $$$$ 1 $$と決める。

これより、基底積の演算は次のようになり、

１次形式 $$ \wx $$ ０次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ d\:r^{\wx 0} | B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb d\:r^{\wx 0} | \:A \wxv B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r^{\wx 1} | \:A B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ １次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ d\:r^{\wx 1} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb d\:r^{\wx 1} | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r^{\wx 2} | \:A \vx \:B ] $$
１次形式 $$ \wx $$ ２次形式：　$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ d\:r^{\wx 2} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb d\:r^{\wx 2} | \:A \wxv \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r^{\wx 3} | \:A \sx \:B ] $$

１次形式 $$ \wx $$$$ n $$次形式の統一表現を得る。

$$ [ d\:r | \:A ] $$$$ \wx $$$$ [ d\:r^{\wx n} | \:B ] $$$$ = $$$$ [ d\:r \wxb d\:r^{\wx n} | \:A \wxv \:B ] $$

さらに、ストークスの定理とガウスの定理は次のように表記できる。

$$ = $$$$ \inte[S] d^{-2} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \ffd{d}{d\:r} \wxv \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[R] d^{-2} $$$$ d $$$$ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } \wx \arrb{ d\:r^{\wx1} & \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[R] d^{-1} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx1} & \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[V] d^{-3} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx3} & \ffd{d}{d\:r} \wxv \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[S] d^{-3} $$$$ d $$$$ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } \wx \arrb{ d\:r^{\wx2} & \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[S] d^{-2} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx2} & \:F } $$

$$ n+1 $$階から$$ n $$階に下る置換積分の統一表現は次のようになる。ただし、$$ \Omega $$は$$ n+1 $$次元の超空間、$$ \partial\Omega $$はそれを囲む$$ n $$次元超空間。

$$ = $$$$ \inte[ \Omega] d^{-(n+1)} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx(n+1)} & \ffd{d}{d\:r} \wxv \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-(n+1)} $$$$ d $$$$ \arrb{ d\:r & \ffd{1}{d\:r} } \wx \arrb{ d\:r^{\wx n} & \:F } $$

$$ = $$$$ \inte[\partial\Omega] \!\!\! d^{-n} $$$$ \arrb{ d\:r^{\wx n} & \:F } $$

この表記であれば、微分$$ \ddd{}{\:r} $$の$$ d $$が$$ d^{-(n+1)} $$と打ち消し、$$ d\:r $$が$$ d\:r^{\wx(n+1)} $$と打ち消す感覚で等式の左辺から右辺を組み立てられる。

*1 同時に、内積を示す累乗表記は、紛らわしいときは内積であることが分りように$$ d\:r^{\sx 2} $$のように表記する。

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

前々回、ベクトル置換積分では無理やりに$$ \ffd{8}{2} $$$$ = $$$$ 4 $$のような計算を通した。前回、基底成分表記では合法な手法で$$ \ffd{8}{2} $$$$ = $$$$ \ffd{2}{2} \times 4 $$$$ = $$$$ 4 $$のような計算をした。そして今回、表記自体を見直し、同じ式を$$ \ffd{2^3}{2} $$$$ = $$$$ 2^2 $$のように変えた。その結果、全ての微小要素が$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述され、置換積分はその指数（階数）を$$ \pm1 $$する公式になった。

ところが、３次元空間では基底積の演算は３通りあるのに置換積分の公式は２つしかなく、１次形式$$ \wx $$０次形式の式に対応した置換積分がまだ登場してない。次回は$$ d\:r^{\wx0} $$に対応する積分と、$$ d\:r^{\wx0} $$と$$ d\:r^{\wx1} $$を結ぶ置換積分公式について考える。
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Last-modified: 2012.0229 (水) 1507.4900 (1999d)