点積分

ベクトル解析で線積分、面積分、体積分とあるのに、点積分ないのが不思議。線、面、体で、1次元、2次元、3次元なら、点は0次元に対応しているはず。0は無を意味するが、扱わなければ今の数学は無い。

猫式では、以下の類推で、点積分なる積分を形式的に定義する。

 基底積表記対応する微分形式
点積分$$ \inte[P] d^{-0} F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx0} $$0次形式:$$ F $$
線積分$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$1次形式:$$ f_x $$$$ dx $$$$ + $$$$ f_y $$$$ dy $$$$ + $$$$ f_z $$$$ dz $$
面積分$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$2次形式:$$ f_{yz} $$$$ dydz $$$$ + $$$$ f_{zx} $$$$ dzdx $$$$ + $$$$ f_{xy} $$$$ dxdy $$
体積分$$ \inte[V] $$$$ d^{-3} $$$$ F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx3} $$3次形式:$$ f_{xyz} $$$$ dxdydz $$

点積分では、積分の回数を表す$$ d $$の指数が$$ 0 $$なのは、点積分は名ばかりで実際の計算では積分をしないことを表す。また、$$ d^{-0} $$$$ d\:r^{\wx0} $$は両方とも$$ 1 $$と見なせて、正味$$ \inte[P] $$$$ F $$が残る。猫式では、$$ \int $$は範囲指定の専用記号であり、$$ \inte[P] $$$$ F $$は範囲$$ P $$における$$ F $$の値と読める。例えば、$$ P $$は点$$ \:r $$$$ = $$$$ \:p $$とすると、$$ \inte[P] $$$$ F(\:r) $$$$ = $$$$ \inte[p] $$$$ F(\:r) $$$$ = $$$$ F(\:p) $$。つまり、点積分は代入と等価。

積分の基本定理と$$ \inte[a]^b $$の意味

3次元のベクトル置換積分定理には、線積分と面積分を結ぶストークスの定理、面積分と体積分を結ぶガウスの定理がある。点積分を考えば、点積分と線積分を結ぶ定理もあるはず。実際、統一公式から式を形式的に組み立てると、それが積分の基本定理が出てくる。

 基底積表記慣用名通常表記
点線
置換
$$ \inte[P] $$$$ d^{-0} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx0} $$$$ = $$$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$積分の基本定理$$ F(b) - F(a) $$$$ = $$$$ \inte[a]^b $$$$ \ddd{ F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r $$
線面
置換
$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$$$ = $$$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$ストークスの定理$$ \inte[R] $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \inte[S] $$$$ \ddd{\vx \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:S $$
面体
置換
$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \inte[V] $$$$ d^{-3} $$$$ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx3} $$ガウスの定理$$ \inte[S] $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:S $$$$ = $$$$ \inte[V] $$$$ \ddd{\sx \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d V $$

積分の基本定理とは普通1次元で$$ \inte[a]^b $$$$ \ddd{F(r)}{r} $$$$ dr $$$$ = $$$$ F(b) $$$$ - $$$$ F(a) $$を指す。ベクトル場では$$ \inte[\:a]^{\:b} $$$$ \ddd{F(\:r)}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ F(\:b) $$$$ - $$$$ F(\:a) $$が成り立ち、そのベクトル版にあたる。点積分を使えば、大雑把に$$ \inte[\:a]^{\:b} $$$$ d^- $$$$ \ddd{F(\:r)}{\:r} $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \inte[\:a]^{\:b} $$$$ F(\:r) $$

厳密には、通常の線積分の$$ \inte[a]^b $$$$ a $$から$$ b $$までの区間$$ \inte[R] $$、点積分の$$ \inte[a]^b $$$$ a $$$$ b $$の2点$$ \inte[P] $$と意味が微妙に異なる。猫式では、区別するため、次のように線積分を不定積分と点積分に分けて考え、$$ \inte[a]^b $$は常に点の範囲指定と読む。

$$ \phantom= $$$$ \inte[R] $$$$ d^- $$$$ r $$$$ dr $$

$$ = $$$$ \inte[a]^b $$$$ r $$$$ dr $$

左側は猫式、右側は対応する通常表記

$$ = $$$$ \inte[a]^b $$$$ d^{-0} $$$$ d^{-1} $$$$ r $$$$ dr^{\wx1} $$$$ dr^{\wx0} $$

$$ = $$$$ \!\left[ \fracstrut \inte r dr \right]_a^b $$

線積分を不定積分と点積分に分離

$$ = $$$$ \inte[a]^b $$$$ d^{-0} $$$$ \ffd{r^2}{2} $$$$ dr^{\wx0} $$

$$ = $$$$ \!\left[\ffd{r^2}{2} \right]_a^b $$

不定積分実行

$$ = $$$$ \ffd{\;b^2}{2} $$$$ - $$$$ \ffd{\;a^2}{2} $$

$$ = $$$$ \ffd{\;b^2}{2} $$$$ - $$$$ \ffd{\;a^2}{2} $$

点積分/代入実行

この解釈では、$$ \inte[a]^b $$は定積分の$$ \left[ \fracstrut \cdots \right]_a^b $$と等価になる。一般に、線積分の被積分関数が$$ \ddd{F}{\:r} $$と書けない限り*1、積分値は経路に依存し、2つの端点だけでは決まらない。このためにも、1次元という特殊な場合でも$$ \inte[a]^b $$は2つの端点の表現であって、区間ではないと考えた方が良い。

*1 これが点線置換の成立条件でもある。

まとめ

以上、基本に戻ったところで、全てのベクトル積分とそれらを結ぶ置換積分公式が出揃う。

3次元空間では次のように纏まる:

 ベクトル積分 置換積分公式
点積分$$ \inte[P] $$$$ d^{-0} $$$$ F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx0} $$  
点線置換$$ \inte[P] $$$$ d^{-0} $$$$ F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx0} $$$$ = $$$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \ddd{\wxv F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$
線積分$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$
線面置換$$ \inte[R] $$$$ d^{-1} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx1} $$$$ = $$$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$
面積分$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$
面体置換$$ \inte[S] $$$$ d^{-2} $$$$ \:F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \inte[V] $$$$ d^{-3} $$$$ \ddd{\wxv \:F}{\:r} $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx3} $$
体積分$$ \inte[V] $$$$ d^{-3} $$$$ F $$$$ \sx $$$$ d\:r^{\wx3} $$
  
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Last-modified: 2012.0229 (水) 1507.5000 (1850d)