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点積分

ベクトル解析で線積分、面積分、体積分とあるのに、点積分ないのが不思議。線、面、体で、１次元、２次元、３次元なら、点は０次元に対応しているはず。０は無を意味するが、扱わなければ今の数学は無い。

猫式では、以下の類推で、点積分なる積分を形式的に定義する。

	基底積表記	対応する微分形式
点積分	$\inte[P] d^{-0} F$ $\sx$ $d\:r^{\wx0}$	０次形式：
線積分	$\inte[R]$ $d^{-1}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$	１次形式：
面積分	$\inte[S]$ $d^{-2}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$	２次形式： $f_{yz}$ $f_{zx}$ $f_{xy}$
体積分	$\inte[V]$ $d^{-3}$ $\sx$ $d\:r^{\wx3}$	３次形式： $f_{xyz}$

点積分では、積分の回数を表す $$ d $$ の指数が $$ 0 $$ なのは、点積分は名ばかりで実際の計算では積分をしないことを表す。また、 $d^{-0}$ と $d\:r^{\wx0}$ は両方とも $$ 1 $$ と見なせて、正味 $\inte[P]$ $$ F $$ が残る。猫式では、 $\int$ は範囲指定の専用記号であり、 $\inte[P]$ $$ F $$ は範囲 $$ P $$ における $$ F $$ の値と読める。例えば、 $$ P $$ は点 $\:r$ $$ = $$ $\:p$ とすると、 $\inte[P]$ $F(\:r)$ $$ = $$ $\inte[p]$ $F(\:r)$ $$ = $$ $F(\:p)$ 。つまり、点積分は代入と等価。

積分の基本定理と $\inte[a]^b$ の意味

３次元のベクトル置換積分定理には、線積分と面積分を結ぶストークスの定理、面積分と体積分を結ぶガウスの定理がある。点積分を考えば、点積分と線積分を結ぶ定理もあるはず。実際、統一公式から式を形式的に組み立てると、それが積分の基本定理が出てくる。

	基底積表記	慣用名	通常表記
点線置換	$\inte[P]$ $d^{-0}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx0}$ $\inte[R]$ $d^{-1}$ $\ddd{\wxv \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$	積分の基本定理	$\inte[a]^b$ $\ddd{ F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r$
線面置換	$\inte[R]$ $d^{-1}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$ $\inte[S]$ $d^{-2}$ $\ddd{\wxv \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$	ストークスの定理	$\inte[R]$ $\:F$ $\sx$ $d\:r$ $\inte[S]$ $\ddd{\vx \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:S$
面体置換	$\inte[S]$ $d^{-2}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$ $\inte[V]$ $d^{-3}$ $\ddd{\wxv \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx3}$	ガウスの定理	$\inte[S]$ $\:F$ $\sx$ $d\:S$ $\inte[V]$ $\ddd{\sx \:F}{\:r}$ $\sx$

積分の基本定理とは普通１次元で $\inte[a]^b$ $\ddd{F(r)}{r}$ $$ dr $$ $$ = $$ $$ F(b) $$ $$ - $$ $$ F(a) $$ を指す。ベクトル場では $\inte[\:a]^{\:b}$ $\ddd{F(\:r)}{\:r}$ $\sx$ $d\:r$ $$ = $$ $F(\:b)$ $$ - $$ $F(\:a)$ が成り立ち、そのベクトル版にあたる。点積分を使えば、大雑把に $\inte[\:a]^{\:b}$ $$ d^- $$ $\ddd{F(\:r)}{\:r}$ $d\:r$ $$ = $$ $\inte[\:a]^{\:b}$ $F(\:r)$ 。

厳密には、通常の線積分の $\inte[a]^b$ は $$ a $$ から $$ b $$ までの区間 $\inte[R]$ 、点積分の $\inte[a]^b$ は $$ a $$ と $$ b $$ の２点 $\inte[P]$ と意味が微妙に異なる。猫式では、区別するため、次のように線積分を不定積分と点積分に分けて考え、 $\inte[a]^b$ は常に点の範囲指定と読む。

$\phantom=$ $\inte[R]$	$\inte[a]^b$	左側は猫式、右側は対応する通常表記
$\inte[a]^b$ $d^{-0}$ $d^{-1}$ $dr^{\wx1}$ $dr^{\wx0}$	$\!\left[ \fracstrut \inte r dr \right]_a^b$	線積分を不定積分と点積分に分離
$\inte[a]^b$ $d^{-0}$ $\ffd{r^2}{2}$ $dr^{\wx0}$	$\!\left[\ffd{r^2}{2} \right]_a^b$	不定積分実行
$\ffd{\;b^2}{2}$ $\ffd{\;a^2}{2}$	$\ffd{\;b^2}{2}$ $\ffd{\;a^2}{2}$	点積分／代入実行

この解釈では、 $\inte[a]^b$ は定積分の $\left[ \fracstrut \cdots \right]_a^b$ と等価になる。一般に、線積分の被積分関数が $\ddd{F}{\:r}$ と書けない限り*1、積分値は経路に依存し、２つの端点だけでは決まらない。このためにも、１次元という特殊な場合でも $\inte[a]^b$ は２つの端点の表現であって、区間ではないと考えた方が良い。

*1 これが点線置換の成立条件でもある。

まとめ

以上、基本に戻ったところで、全てのベクトル積分とそれらを結ぶ置換積分公式が出揃う。

３次元空間では次のように纏まる：

	ベクトル積分		置換積分公式
点積分	$\inte[P]$ $d^{-0}$ $\sx$ $d\:r^{\wx0}$
点積分	$\inte[P]$ $d^{-0}$ $\sx$ $d\:r^{\wx0}$	点線置換	$\inte[P]$ $d^{-0}$ $\sx$ $d\:r^{\wx0}$ $\inte[R]$ $d^{-1}$ $\ddd{\wxv F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$
線積分	$\inte[R]$ $d^{-1}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$	点線置換
線積分	$\inte[R]$ $d^{-1}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$	線面置換	$\inte[R]$ $d^{-1}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx1}$ $\inte[S]$ $d^{-2}$ $\ddd{\wxv \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$
面積分	$\inte[S]$ $d^{-2}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$	線面置換
面積分	$\inte[S]$ $d^{-2}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$	面体置換	$\inte[S]$ $d^{-2}$ $\:F$ $\sx$ $d\:r^{\wx2}$ $\inte[V]$ $d^{-3}$ $\ddd{\wxv \:F}{\:r}$ $\sx$ $d\:r^{\wx3}$
体積分	$\inte[V]$ $d^{-3}$ $\sx$ $d\:r^{\wx3}$	面体置換
体積分	$\inte[V]$ $d^{-3}$ $\sx$ $d\:r^{\wx3}$

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