基底成分表記 ベクトルの成分表記には、列ベクトル これに対し、猫式ではベクトルを 混合基底 一般に、線積分は 通常、基底と言えば また、混合ベクトルの一般型として、 ベクトルの積 混合基底の演算もベクトル同様に、通常ベクトル演算、 微小ベクトル演算、混合ベクトル演算と分類できる。実際、ベクトル置換積分で登場するのは3種類の通常ベクトル演算と3種類の微小ベクトル演算のみで、混合ベクトル演算は出番無し。その6種類の演算は以下の通り。
一般的に、通常基底にも そこで、微小基底の
2次形式と3次形式の基底が少し変わっているが、こっちの方が厳密的であるだけで、今は余り気にせずに通常ベクトル基底の2種類の表現を等価と思って構わない*3。 成分基底表記によるストークスの定理の計算 ストークスの定理は、猫式の基底成分表記とベクトル積分演算子で表記すると次のようになる。ただ、3次元を扱う限り、倍積、外積、内積の方が敷居が低いため、まだ 左辺
簡略表記 上の計算途中で、 これより、微小ベクトルの3種類の演算は次のように書ける。
この簡略表記により、ストークスの定理とガウスの定理は次のように変形できる。 まとめ・つなぎ 今回は、微分形式を経由して、積分公式を導きいた。ベクトル形の積分公式と微分形式を橋渡しするため独自の表記を用いたが、個々の手順自体は合法的。やってることは、 また、導入したイカサマ外積も基底側を作るためのものであった。このため、イカサマ外積は必然的に成立していて、必要な演算と言える。というわけで、次回は基底側の計算について考えてみる。
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