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* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]
;,定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,解の公式は積分式で与えられる：
#ceq(e)
$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ ⇒ $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} R\, dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。))
#ceq(end)
;,暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
;,しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
;,特に、直後に学ぶ定数係数''２''階線形常微分方程式は、''１''階を応用すれば難しい暗記が不要になる。
;,これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
;,学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式の''もう少し考え易い''解き方を与える。
//;,変数の方程式は変数$$ x $$についての等式になっていて、等式が成立つ$$ x $$の値を求めるが、
//;,微分方程式は変数$$ x $$についての恒等式になっていて、等式が成立つ$$ y(x) $$の関係を求める。
//;,$$ x $$や$$ y $$の値を決めるワケでは無いので、微分方程式解くことは微分を無くす式変形に相当する。
//;,名前の右側から読み解くと、常微分とは$$ \ddd{^ny}{x^n} $$に関する方程式を意味する。
//;,線形とは係数$$ a_n $$と微分の積和式$$ \sum_{n=1}^{N} $ a_n $ \ddd{^ny}{x^n} $$である。
//;,１階とは$$ N = 1 $$、定数係数とは$$ a_n $$が$$ x $$の定数$$ a_n\overline{(x)} $$を意味する。
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* $$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$ ⇔ $$ F $ = $ \int f dx $$(($$ F $ = $ F(x) $$、$$ f $ = $ f(x) $$。)) [#e8d058b2]
;,上記は常微分と不定積分の変換式であるが、１つの微分にできれば積分で解けることを意味する。
;,$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の場合は、左辺を$$ \ddd{F}{x} $$の形に纏まると、積分で解ける。
;,上記は常微分と不定積分の変換式であるが、１つの微分に纏まれば積分で解けることを意味する。
;,$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の場合は、左辺$$ L $ = $ \ddd{y}{x} + ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。
;,左辺である$$ \ddd{y}{x} + ay $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「加算」である。
;,大学１年までに学ぶ微分公式を総当りで探しても、この３つが出揃うのは''積の微分''ぐらいである：
;,左辺$$ L $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「加算」である。
;,高校から学んだ微分公式を順に当たれば、最初に出揃うのは''積の微分''である：
#ceq(e)
$$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$(($$ p $ = $ p(x) $$、$$ q $ = $ q(x) $$。))
#ceq(end)
;,左辺を$$ 1 \ddd{y}{x} + ay $$として$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
$$ y = q $$が上手く嵌るものの、
;,残念ながら$$ 1 $ = $ p $$ と$$ a $ = $ \ddd{p}{x} $$を同時に満たす$$ p $$は存在しない(($$ 1 $ = $ p $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となってしまうため、$$ a $ = $ \ddd{p}{x} $$を満たせるのは$$ a $ = $ 0 $$の場合に限られる。))。
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* 積分因子 [#v79f5a8f]
;,$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$のままでは１つの微分に纏まらないため、これを弄ることになる。
;,ただし、右辺に$$ y $$が入ると積分できなくなるため、右辺を$$ x $$の関数に保たせる必要がある。
;,目星が無いため、小学校から学んだ式変形の手法を順に試せば良い
((総当りではあるが、減算が加算に含まれる、除算が乗算に含まれるなど、回数を減らす工夫はできる))。
;,まず、$$ \Big( \ddd{y}{x} + ay \Big) + u = R + u $$(($$u = u(x) $$))と足してみると、
項が増えて余計に難しくなるため、放棄。
;,次に、$$ \Big( \ddd{y}{x} + ay \Big) \times u = R \times u $$と掛けてみると、上手く積の微分に嵌る式が現れる。
;,掛けた$$ x $$の関数$$ u $$を積分因子と呼ばれ、式の形を変えられるため、掛けることは有効な手法である。
;,左辺が$$ u\ddd{y}{x} + auy $$になるため、$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
$$ u $ = $ p $$と$$ au $ = $ \ddd{p}{x} $$が得られる。
;,$$ u $ = $ p $$を$$ au $ = $ \ddd{p}{x} $$に代入すれば$$ au $ = $ \ddd{u}{x} $$と、解ける変数分離形の方程式が得られる
((勘で$$ \ddd{y}{x} + ay $$に$$ u $$を掛けば$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と同形の$$ u\ddd{y}{x} + auy $$を作れることに気づけば直接ココに飛べる。))。
;,$$ \ffd{du}{u} $ = $ a\,dx $$に分離して積分すれば、$$ log_e u $ = $ ax $$が得られる。
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