凌宮読取術:$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$$$ (D + a) $$$$ y $$$$ = R $$$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$ EditToHeaderToFooter

定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている:

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

定数係数の1階線形常微分方程式は微分で定義される多くの分野で現れるため、
「変数分離法&定数変化法」*1という定番解法が大学入学早々叩き込まれる。

変数分離法と定数変化法では解けることができても、直観的に解を得るのは難しい。
その上、高階の方程式を解くのに1階の解が多用されるため、ほぼ丸暗記する羽目になる。
例えば$$ D $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$とする演算子法では、逆演算子$$ \ffd{1}{D+a} $$の形で暗記対象になる*2

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ (D+a)^{-1} $$$$ R $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

これに対し、凌宮数学では直観を重視する演算子法を拡張し、
指数変換演算子$$ E_a $$を導入して、$$ (D+a) $$$$ +a $$に単純な意味を与え、
高階の常微分方程式に繋げやすい解法を与える。

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

$$ (D + a) $$$$ y $$$$ = R $$

$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$

*1 EMANの物理学>物理数学>微分方程式>一階線形微分方程式: http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential07.html
*2 EMANの物理学>物理数学>微分方程式>演算子法: http://homepage2.nifty.com/eman/math/differential12.html

定数係数1階線形常微分演算子$$ (D+a) $$の分解表記 EditToHeaderToFooter

$$ D $$の逆演算子 EditToHeaderToFooter

一般に、微分$$ D $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$に対し、不定積分$$ y $$$$ = $$$$ \int $$$$ R $$$$ dx $$が定義される。
このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$$$ dx $$となる。

$$ (D+a)^{-1} $$の分解表記 EditToHeaderToFooter

定数係数の1階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると:

$$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} $$$$ D^{-1} $$$$ (\iro[ao]{e^{ax}} R) $$

このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる:

$$ (D+a)^{-1} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} $$$$ D^{-1} $$$$ (\iro[ao]{e^{ax}} \ast) $$

問題は、$$ \ast $$と書いている箇所に$$ R $$が入るが、これを簡単に省けない。
$$ D^{-1} $$$$ e^{ax} $$$$ \ast $$の両方に掛かるが、$$ D^{-1} $$$$ e^{ax} $$と書いた場合は$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
このため、積分対象を簡潔にかつ正しく記述するには、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

指数変換演算子: $$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$ EditToHeaderToFooter

$$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$と指数変換演算子を定義すると、
$$ E_a $$は必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $$$$ E_a $$だけで$$ D^{-1} $$$$ (e^{ax} \ast) $$を表現できるようになる。
$$ E_a $$を使えば、$$ (D+a)^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる:

$$ (D+a)^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_{-a}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

さらに、$$ E_a $$$$ e^{ax} $$の掛算であるため、逆演算子$$ E_a^{-1} $$$$ e^{ax} $$の逆数の掛算となる:

$$ E_a^{-1} $$$$ = $$$$ (e^{ax})^{-1} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$

これを利用すれば、$$ (D+a)^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_{a} $$だけの演算子チェーンとして記述できる:

$$ (D+a)^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

意味は、$$ E_a $$指数変換してから、積分して、$$ E_a $$逆変換を掛ける、と読める。

$$ (D+a) $$の分解表記 EditToHeaderToFooter

$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$の逆演算を取ると、$$ (D+a) $$が得られる:

$$ ( $$$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ )^{-1} $$

$$ (E_a)^{-1} $$$$ (D^{-1})^{-1} $$$$ (E_a^{-1})^{-1} $$

チェーンの逆演算は、各演算子の逆演算を逆順に並び*3

$$ E_a^{-1} $$$$ D $$$$ E_a $$

逆演算の逆演算は正演算

意味は、$$ E_a $$指数変換してから、微分し、逆変換を掛ける、と読める。

ポイントは$$ D^{-1} $$が正演算に戻るだけで、$$ E_a^{-1} $$$$ E_a $$に関しては変わりが無い。

$$ (D+a)^{\phantom{+1}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{\phantom{+1}} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

指数変換→微分→逆変換

$$ (D+a)^{-1} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$

指数変換→積分→逆変換

*3 $$ FGx=y $$を纏めて飛ばすと$$ x=(FG)^{-1}y $$になるが、1つずつ飛ばすと$$ FGx=y $$$$ Gx=F^{-1}y $$$$ x=G^{-1}F^{-1}y $$

計算例 EditToHeaderToFooter

以上を纏めると、演算子分解法を使えば、定数係数1階数線形常微分方程式を以下のように解ける:

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

$$ Dy $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

式1:常微分演算子表記

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

式2:定数係数1階線形常微分演算子表記

$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D $$$$ \iro[ao]{E_a} $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

式3:演算子分解

$$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{E_a^{-1}} $$$$ D^{-1} $$$$ \iro[ao]{E_a} $$$$ R $$

式4:逆演算子表記

$$ y $$$$ = $$$$ \iro[ao]{e^{-ax}} \!\!\int\!\! \iro[ao]{e^{ax}} $$$$ R $$$$ dx $$

式5:通常表記に復元

演算子分解法に基づく、定数係数1階線形常微分方程式の解釈 EditToHeaderToFooter

上記式3を式4に書き換える途中、先頭の$$ E_a^{-1} $$だけを逆演算子に書き換えると式3’が得られる:

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

式2

$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$

式3’:$$ E_a^{-1} $$のみを逆演算子に書き換えた状態

式2と式3'を見比べれば、$$ y $$$$ R $$に関する定数係数1階線形常微方程式は、
指数変換を施した$$ E_a $$$$ y $$$$ E_a $$$$ R $$に関する定数項無しの微分方程式であると解釈できる。

この考え方に基づくと、解答は次のように変る。

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

$$ Dy $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$

式1:常微分演算子表記

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

式2:定数係数1階線形常微分演算子表記

$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$

式3’:定数係数無しの微分方程式に読み替え

$$ y $$$$ = $$$$ E_a^{-1} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ R $$

式4:逆演算子表記

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} \!\!\int\!\! e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

式5:通常表記に復元

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

$$ D $$$$ = $$$$ \ddd{}{x} $$と置けば1階線形常微分方程式を$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$に書き換えるのは容易だろう。
その先、$$ (D+a)^{-1} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と答えを丸暗記するよりは、
段階的に$$ E_a^{-1} $$$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$と分解してから個別に逆演算に直す方が覚えやすく、
$$ D $$$$ E_a $$$$ y $$$$ = $$$$ E_a $$$$ R $$と両辺の指数変換$$ E_a $$を経ての$$ D $$と覚える方が理屈を付けやすいだろう。

$$ D+a $$に対し$$ E_a $$$$ D $$しか登場しなければ、$$ E_a^{-1} $$$$ E_a $$の順番を覚える必要が無くなる。
小さいことではあるが、片方に付くが他方に付かない「-1」などは、混乱の元でしか無い。

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Last-modified: 2015.0928 (月) 1833.4400 (542d)