$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ EditToHeaderToFooter

定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$*1である。
解の公式は積分式で与えられる：

$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} R\, dx $$*2

暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
特に、直後に学ぶ定数係数２階線形常微分方程式は、１階を応用すれば難しい暗記が不要になる。

これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式のもう少し考え易い解き方を与える。

*1 $$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$を表す。
*2 $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \Big( $$$$ \int $$$$ e^{ax} R dx $$$$ + $$$$ C $$$$ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。

$$ \ddd{F}{x} $$$$ = $$$$ f $$　⇔　$$ F $$$$ = $$$$ \int f dx $$*3 EditToHeaderToFooter

上記は常微分と不定積分の変換式であるが、１つの微分に纏まれば積分で解けることを意味する。
$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$の場合は、左辺$$ L $$$$ = $$$$ \ddd{y}{x} + ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。

左辺$$ L $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「加算」である。
高校から学んだ微分公式を順に当たれば、最初に出揃うのは積の微分である：

左辺を$$ 1 \ddd{y}{x} + ay $$として$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$と比較すると、$$ y = q $$が上手く嵌るものの、
残念ながら$$ 1 $$$$ = $$$$ p $$ と$$ a $$$$ = $$$$ \ddd{p}{x} $$を同時に満たす$$ p $$は存在しない*5。

*3 $$ F $$$$ = $$$$ F(x) $$、$$ f $$$$ = $$$$ f(x) $$。
*4 $$ p $$$$ = $$$$ p(x) $$、$$ q $$$$ = $$$$ q(x) $$。
*5 $$ 1 $$$$ = $$$$ p $$の時点で$$ \ddd{p}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$となってしまうため、$$ a $$$$ = $$$$ \ddd{p}{x} $$を満たせるのは$$ a $$$$ = $$$$ 0 $$の場合に限られる。

積分因子 EditToHeaderToFooter

$$ \ddd{y}{x} + ay = R $$のままでは１つの微分に纏まらないため、これを弄ることになる。
ただし、右辺に$$ y $$が入ると積分できなくなるため、右辺を$$ x $$の関数に保たせる必要がある。

$$ \ddd{y}{x} $$の係数が$$ 1 $$である故に$$ p $$$$ = $$$$ 1 $$と決まってしまうため、
$$ u $$$$ = $$$$ u(x) $$を掛けてみると、１つの微分に纏まりそうな$$ u\ddd{y}{x} + auy $$が現れる。
掛けた$$ u $$は積分因子と呼ばれ、微分の形が変わるため積分因子を掛ける手法は良く利く。

左辺$$ u\ddd{y}{x} + auy $$を$$ p $$$$ \ddd{q}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{p}{x} $$$$ q $$と比較すると、$$ u $$$$ = $$$$ p $$と$$ au $$$$ = $$$$ \ddd{p}{x} $$が得られる。
$$ u $$$$ = $$$$ p $$を$$ au $$$$ = $$$$ \ddd{p}{x} $$に代入すれば変数分離形という易しい微分方程式が得られる：

$$ au $$$$ = $$$$ \ddd{u}{x} $$

⇔　$$ \ffd{du}{u} $$$$ = $$$$ a\,dx $$

変数分離

⇔　 $$ \int \ffd{du}{u} $$$$ = $$$$ \int a\,dx $$

両辺で不定積分

⇔　 $$ \log_e |u| $$$$ = $$$$ ax $$$$ + $$$$ k $$

不定積分実行、積分定数を$$ k $$とする。

⇔　 $$ u $$$$ = $$$$ \pm e^{ax + k} $$

両辺で指数を取る

⇔　 $$ u $$$$ = $$$$ \pm e^{k} \, e^{ax} $$

指数法則で定数部を分離

掛ける積分因子は自由に選べるため、以降は簡単そうな$$ u $$$$ = $$$$ e^{ax} $$を選ぶ。

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