%indent
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* $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$ [#u62f0746]

;,定数係数１階線形常微分方程式は上記の形をしている。
;,ここで、$$ y $$と$$ R $$は$$ x $$の関数$$ y(x) $$と$$ R(x) $$で、$$ a $$は$$ x $$の定数$$ a\overline{(x)} $$(($$ a\overline{(x)} $$は凌宮数学の定数表記であり、$$ \ddd{a}{x} $ = $ 0 $$を表す。))である。
;,解の公式は積分式で与えられる：
#ceq(e)
    $$ \ddd{y}{x} + ay = R $$　　⇒　　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} R\, dx $$(($$ y $ = $ e^{-ax} $ \Big( $ \int $ e^{ax} R dx $ + $ C $ \Big) $$と積分定数を明示する書き方もあるが、煩雑のため凌宮数学では使わない。))
#ceq(end)

;,暗記さえできれば、定数係数で１階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。
;,しかし問題は、丸暗記では既習や未習の知識と繋がりを持たず、全体を効率良く学べない。
;,特に、直後に学ぶ定数係数''２''階線形常微分方程式は、''１''階を応用すれば難しい暗記が不要になる。

;,これらに対し、凌宮数学では、２階ないし$$ N $$階の定数係数常微分方程式に繋がるような、
;,学習済み知識に基づいた定数係数１階線形常微分方程式の''もう少し考え易い''解き方を与える。

//;,変数の方程式は変数$$ x $$についての等式になっていて、等式が成立つ$$ x $$の値を求めるが、
//;,微分方程式は変数$$ x $$についての恒等式になっていて、等式が成立つ$$ y(x) $$の関係を求める。
//;,$$ x $$や$$ y $$の値を決めるワケでは無いので、微分方程式解くことは微分を無くす式変形に相当する。

//;,名前の右側から読み解くと、常微分とは$$ \ddd{^ny}{x^n} $$に関する方程式を意味する。
//;,線形とは係数$$ a_n $$と微分の積和式$$ \sum_{n=1}^{N} $ a_n $ \ddd{^ny}{x^n} $$である。
//;,１階とは$$ N = 1 $$、定数係数とは$$ a_n $$が$$ x $$の定数$$ a_n\overline{(x)} $$を意味する。

%bodynote

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* 考え方 [#x7399926]
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** 積分で解く： $$ \ddd{F}{x} $ = $ f $$　⇔　$$ F $ = $ \int f dx $$(($$ F $ = $ F(x) $$、$$ f $ = $ f(x) $$。)) [#e8d058b2]
;,一般に、ある関数$$ F $$の常微分が分かれば、不定積分で解ける。
;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の場合は、左辺$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を$$ \ddd{F}{x} $$に纏めらると、積分で解ける。

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** 積の微分で纏める [#ze454f7f]

;,$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$の特徴は、「$$ \ddd{y}{x} $$」、「$$ y $$」、「加算」である。
;,３つの特徴が出揃う公式を高校から学んだ微分公式から順に当たれば、''積の微分''に辿り着く：
#ceq(e)
    $$ \ddd{(pq)}{x} $ = $ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$(($$ p $ = $ p(x) $$、$$ q $ = $ q(x) $$。))
#ceq(end)

;,しかし、$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を$$ 1 \ddd{y}{x} + ay $$として$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
;,$$ q $ = $ y $$が上手く嵌るものの、$$ p $ = $ 1 $$ と$$ \ddd{p}{x} $ = $ 1 $$を同時に満せない。
;,このため、$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $$を弄る必要がある。

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** 積分因子を掛ける [#w6c99026]

;,上記の試算は、$$ p $ = $ 1 $$と縛りが厳しすぎるため、$$ \ddd{p}{x} $ = $ 0 $$となってしまい、$$ \ddd{p}{x} $ = $ a $$を満たす余地を無くした、と捉えられる。
;,幸い、その縛りを無くすには、$$ p $$を$$ p $$のまま、$$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$の両辺に直接掛ければ良い。
#ceq(e)
  $$ p $ \ddd{y}{x} $ + $ apy $ = $ pR $$
#ceq(end)

;,$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、$$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$なる$$ p $$を探せば良いことが分かる。
;,これは変数分離形という易しい類の微分方程式であるため、簡単に求まる：
#ceq(e)
  $$ \ddd{p}{x} $ = $ ap $$
#ceq(a)
  $$ p = p(x) $$に関する変数分離形の常微分方程式
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ffd{dp}{p} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
  変数分離
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \int \ffd{dp}{p} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
  不定積分
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \log_e |p| $ = $ ax $ + $ k $$
#ceq(a)
  積分実行、積分定数を$$ k $$とする。
#ceq(e)
  ⇔　  $$ p $ = $ \pm e^{ax + k} $$ 
#ceq(a)
  両辺で指数を取る
#ceq(e)
  ⇔　  $$ p $ = $ \pm e^{k} $ e^{ax} $$ 
#ceq(a)
  指数法則で定数部を分離
#ceq(end)

;,今、$$ p $$は$$ \pm e^{k} $ e^{ax} $$を満たせば良いので、以降では簡単そうな$$ e^{ax} $$を選ぶ。

;,ここで、掛けた$$ p $$は積分因子と呼ばれ、積分因子を掛ける手法は


%bodynote

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* 積分因子 [#v79f5a8f]


;,$$ u $ = $ u(x) $$を掛けてみると、１つの微分に纏まりそうな$$ u\ddd{y}{x} $ + $ auy $$が現れる。
;,掛けた$$ u $$は積分因子と呼ばれ、微分の形が変わるため積分因子を掛ける手法は良く利く。

;,$$ u\ddd{y}{x} $ + $ auy $$を$$ p $ \ddd{q}{x} $ + $ \ddd{p}{x} $ q $$と比較すると、
  $$ u $ = $ p $$と$$ au $ = $ \ddd{p}{x} $$が得られる。
;,$$ u $ = $ p $$を$$ au $ = $ \ddd{p}{x} $$に代入すれば変数分離形という易しい微分方程式が得られる：
#ceq(e)
  $$ au $ = $ \ddd{u}{x} $$
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ffd{du}{u} $ = $ a $ dx $$
#ceq(a)
  変数分離
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \int \ffd{du}{u} $ = $ \int $ a $ dx $$
#ceq(a)
  両辺で不定積分
#ceq(e)
  ⇔　  $$ \log_e |u| $ = $ ax $ + $ k $$
#ceq(a)
  不定積分実行、積分定数を$$ k $$とする。
#ceq(e)
  ⇔　  $$ u $ = $ \pm e^{ax + k} $$ 
#ceq(a)
  両辺で指数を取る
#ceq(e)
  ⇔　  $$ u $ = $ \pm e^{k} $ e^{ax} $$ 
#ceq(a)
  指数法則で定数部を分離
#ceq(end)

;,掛ける積分因子は自由に選べるため、以降は簡単そうな$$ u $ = $ e^{ax} $$を選ぶ。

%bodynote

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* 略解例 [#f99103ca]
以上で解く筋道が通った：
- 微分方程式を解くために積分をする
- 積分するために１つの微分に纏める
- 纏めるために積分因子を掛ける
したがって、考え方を逆から書けば「解答」となる：

#ceq(e)
  $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$
#ceq(a)
  原方程式
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ ae^{ax} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} $ \ddd{y}{x} $ + $ \ddd{(e^{ax})}{x} $ y $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  指数の微分を逆適応（不定積分を実行）
#ceq(e)
  ⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $ = $ e^{ax} $ R $$
#ceq(a)
  積の微分を逆適応（部分積分を実行）
#ceq(e)
  ⇔　$$ e^{ax} y $ = $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  微分・不定積分の相互変換
#ceq(e)
  ⇔　$$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$
#ceq(a)
  両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理
#ceq(end)

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* 線形微分演算子・線形積分演算子 【編集中】[#h2bfad2b]
;,上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
;,一旦$$ uy $ = $ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
;,そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

- $$ \ddd{y}{x} $ + $ ay $ = $ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
- $$ y $ = $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
- 互いに逆演算

- ;,線形微分演算子$$   D_a $$を$$   D_a $ y $ \equiv $ \bigg( $ \ddd{}{x} $ + $ a $ \bigg) $$と定義し、
- ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $ R $ \equiv $ e^{-ax} $ \int $ e^{ax} $ R $ dx $$と定義すると、
- ;,$$ D_a $ \iro[gy]y $ = $ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $ = $ I_a $ \iro[gy]R $$
- ;,演算子として$$ D_a^{-1} $ = $ I_a $$


%bodynote
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* 各手順の意味 [#d0727fe3]



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